Question

Найдите периметр параллелограмма ABCD, если его меньшая сторона равна 5 см, а биссектрисы углов A и D пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Найдите меру угла AKD.​ ( с объяснением и с рисунком пж.)​

Answer 1

Сума углов BAD и CDA = 180° (свойство параллелограмма)

Углы BAK с KAD и углы KDA с KDC равны (так как AK и DK - биссектрисы этих углов соответственно)

Значит сума углов BAK, KAD, KDA, KDC = 180°

Пусть углы BAK и KAD - a, углы KDA и KDC- b

Тогда 2a + 2b= 180°

a + b = 90°

Поскольку сума углов треугольника 180°, а сума углов KAD и KDA = 90°, то угол AKD = 90°

AK - секущая прямая двух параллельных прямых BC и AD

Тогда углы BKA и KAD равны

А так как углы BAK и KAD равны то треугольник BAK - равнобедренный с основой AK

Тогда AB = BK = 5см

KD - секущая прямая двух параллельных прямых BC и AD

Тогда углы KDA и CKD равны

А так как углы CDK и KDC равны то треугольник CDK - равнобедренный с основой KD

Тогда CK = CD = 5см

BC = AD = CK + BK = 5 + 5 = 10(см)

P = 2(AB + BC) = 2(5 + 10) = 30(см)

Ответ: P = 30 см; угол AKD = 90°

Answer 2

Для нахождения периметра параллелограмма и измерения угла AKD давайте воспользуемся геометрическими свойствами.

Пусть AB = a, BC = b, CD = a (так как параллелограмм, то стороны противоположные равны), и AD = d.

Из условия известно, что меньшая сторона параллелограмма равна 5 см, поэтому a = 5 см.

Теперь рассмотрим биссектрису угла A. Она делит угол A на два равных угла. Пусть точка пересечения биссектрисы угла A с стороной BC обозначена как M. Тогда AM = MD, и у нас есть равенство треугольников AMK и DMK (по стороне-стороне-стороне). Следовательно, угол AKB равен углу DKB.

Также, углы AKB и DKB дополняют друг друга до 180 градусов (параллельные линии), поэтому угол AKB равен 180 - угол DKB.

Итак, мы можем выразить угол DKB (и, следовательно, угол AKB) через стороны параллелограмма:

\[ \angle DKB = \angle AKB = 180 - \angle AKB \]

Теперь, рассмотрим треугольник AKD. Известно, что AM = MD, поэтому углы AKM и DKM равны. Следовательно, угол AKD равен удвоенному углу AKM.

Теперь давайте найдем периметр параллелограмма. Периметр - это сумма длин всех его сторон:

\[ P = 2 \cdot (AB + BC) \]

Подставим значения:

\[ P = 2 \cdot (5 + b) \]

Теперь мы знаем, что угол AKB равен \( 180 - \angle AKB \) и что угол AKD равен удвоенному углу AKM.

Таким образом, мы можем рассчитать периметр и измерить угол AKD с использованием данных, предоставленных в условии.