Question

3. Доведіть, що сума 1^3+ 2^3+ ... + 2020^3 ділиться на 2021.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

получается (1³+2020³)+(2³+2019³)+...

в каждом слагаемом сумма кубов = 2021*(...)+2021*(...)+...

2021 выносим за скобки

Получаем 2021*(сумма) - делится на 2021

Answer 2

Щоб довести, що сума 1^3 + 2^3 + ... + 2020^3 ділиться на 2021, ми можемо скористатися теорією конгруенцій.

Теорія конгруенцій

Конгруенція - це математичне поняття, яке використовується для порівняння чисел за модулем. Кажуть, що два числа a і b конгруентні за модулем m (позначається a ≡ b (mod m)), якщо a і b дають однаковий остачу при діленні на m.

Розв'язання

Давайте розглянемо суму 1^3 + 2^3 + ... + 2020^3. Будемо позначати цю суму як S.

S = 1^3 + 2^3 + ... + 2020^3

Якщо ми розділимо кожен доданок цієї суми на 2021 і візьмемо остачу, ми отримаємо:

S ≡ (1^3 mod 2021) + (2^3 mod 2021) + ... + (2020^3 mod 2021)

Тут оператор "mod" показує, що ми беремо остачу від ділення.

Тепер, щоб довести, що S ділиться на 2021, нам потрібно показати, що кожен доданок (i^3 mod 2021) ділиться на 2021.

Формула Гаусса для суми кубів

Ми можемо скористатися формулою Гаусса для суми кубів, яка говорить, що сума кубів чисел від 1 до n дорівнює квадрату суми цих чисел.

Формула Гаусса: 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2

Використання формули Гаусса

Застосуємо формулу Гаусса до нашої суми кубів:

S = 1^3 + 2^3 + ... + 2020^3 = (1 + 2 + ... + 2020)^2

Тепер нам потрібно довести, що (1 + 2 + ... + 2020)^2 ділиться на 2021.

Конгруенція і квадрати сум

Ми можемо скористатися теорією конгруенцій, щоб довести, що квадрат суми чисел (1 + 2 + ... + 2020) ділиться на 2021.

Зауважимо, що сума послідовних чисел від 1 до 2020 може бути представлена як:

1 + 2 + ... + 2020 = (2020 * (2020 + 1)) / 2 = 2020 * 2021 / 2 = 2021 * 1010

Таким чином, сума (1 + 2 + ... + 2020) ділиться на 2021.

Висновок

Ми показали, що сума 1^3 + 2^3 + ... + 2020^3 може бути представлена як квадрат суми чисел (1 + 2 + ... + 2020), і ця сума ділиться на 2021. Отже, можна стверджувати, що сума 1^3 + 2^3 + ... + 2020^3 ділиться на 2021.