Question

На окружности последовательно в указанном порядке расположены четыре точки A, B, C, D (хорды AC и BD пересекаются). Точки P, S, T – середины хорд AB, BC и CD соответственно, ∠BPS=20°. Найти величину ∠STD в градусах.

Answer 1

Ответ:

160°

Пошаговое объяснение:

Дано: Окр.О;

АС ∩ BD - хорды.

АР=РВ; BS=SC; CT=TD;

∠BPS=20°

Найти: ∠STD

Решение:

1. Рассмотрим ΔАВС.

АР=РВ; BS=SC (условие)

⇒ PS - средняя линия (по определению)

Средняя линия параллельна основанию.

⇒ PS || AC

∠BPS = ∠1 = 20° (соответственные при PS || AC и секущей АВ)

2. ∠1 = ∠2 (вписанные, опираются на одну дугу ВС)

3. Рассмотрим ΔBCD.

BS=SC; CT=TD (условие)

⇒ ST - средняя линия (по определению)

⇒ ST || BD

∠STD + ∠2 = 180° (внутренние односторонние при ST || BD и секущей CD)

∠STD = 180° - 20° = 160°

Answer 2

Конечно, давайте решим эту задачу.

У нас есть окружность, на которой расположены точки A, B, C и D, причем хорды AC и BD пересекаются. Также есть точки P, S и T, которые являются серединами соответствующих хорд AB, BC и CD.

Известно, что ∠BPS = 20°. Мы хотим найти величину угла ∠STD.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойствами треугольников, образованными на окружности.

1. Так как P, S и T - середины соответствующих хорд, они образуют параллелограмм BSTD, так как диагонали параллелограмма делятся пополам. 2. В параллелограмме противоположные углы равны.

Теперь давайте обратим внимание на треугольники внутри параллелограмма. Треугольник SPD и треугольник TPC - это подобные треугольники, так как соответствующие стороны параллельны (параллелограмм) и делены на равные части.

Давайте обозначим ∠BPS = α.

Таким образом, ∠DPS = α (по свойству параллелограмма), а ∠DPT = α (по подобным треугольникам).

Теперь у нас есть два равных угла: ∠DPS = ∠DPT = α.

Из этого следует, что ∠STD = 180° - 2α, так как ∠DPS + ∠DPT + ∠STD = 180° внутри треугольника DPT.

Теперь нам нужно найти значение α, чтобы найти ∠STD.

Известно, что ∠BPS = 20°, и так как PD параллельна BC (из-за серединности P), ∠DPS = 20°.

Таким образом, α = 20°.

Теперь подставим α в нашу формулу для ∠STD:

∠STD = 180° - 2 * 20° = 180° - 40° = 140°.

Итак, величина угла ∠STD равна 140°.