Question

Варя и Софья играют в игру: Варя пишет на доске натуральное N, потом Софья дописывает к нему справа 4 цифры. Если получился квадрат натурального числа, то Софья побеждает. При каком наименьшем N Софья не может победить?

Answer 1

Ответ:

282

Пошаговое объяснение:

N = 282

531^2 = 281961

532^2 = 283024

Если Варя напишет 282, то Софья не сможет добавить 4 цифры, чтобы получился квадрат натурального числа.

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

В данной игре Варя начинает, записывая на доске натуральное число N. Затем Софья дописывает к этому числу справа 4 цифры. Если после этого получается квадрат натурального числа, то Софья побеждает.

Для того чтобы Софья не победила, число N должно быть выбрано так, чтобы при любых 4 дописываемых цифрах к нему результат не был квадратом натурального числа.

Рассмотрим возможные варианты 4-х цифр, которые могут быть добавлены справа к числу N. Последние две цифры будут обозначены как ab:

1. 00ab: Для этого случая N должно быть полным квадратом, чтобы результат был квадратом. Например, если N=25, то при добавлении 0025 получится 250025, что является квадратом 500.

2. 01ab: Для этого случая N+1 должно быть полным квадратом, чтобы результат был квадратом. Например, если N=24, то при добавлении 0124 получится 240124, что не является квадратом натурального числа.

3. 04ab: Аналогично, N+4 должно быть полным квадратом.

4. 09ab: N+9 должно быть полным квадратом.

...

Таким образом, чтобы Софья не могла победить, необходимо выбрать N так, чтобы ни одно из чисел N+k (где k - квадрат натурального числа) не было полным квадратом. Таким числом будет минимальное натуральное число, не являющееся полным квадратом.

Самое маленькое такое число - 2. Возьмем N=2. При добавлении любых четырех цифр, например, 0000, 1111, 9999, результат не будет являться полным квадратом. Таким образом, при N=2 Софья не сможет победить.