Question

Найдите наибольшее натуральное n такое, что n(n+101) – точный квадрат. ​

Answer 1

Так как число 101 простое и потому делится только на единицу и на само себя, НОД (n; 101) может быть либо 1, либо 101.

Рассмотрим первый случай: (НОД) = 1.

Тогда n и n+101 — взаимно простые числа, а если произведение таких чисел является точным квадратом, то каждый множитель будет точным квадратом.

Значит, n=a² и n+101 = b²

Остюда b² - a² = n + 101 - n = 101

(b - a)(b + a) = 101  

$\begin{equation*} \begin{cases} b-a=1\\ b+a=101 \end{cases}\end{equation*}$

b = 1 + a

1 + a + a = 101

2a = 100

a = 50

b = 1 + 50 = 51

n = a² = 50² = 2500

_____________________________

Теперь рассмотрим второй случай: (НОД = 101).

Тогда n = 101k и n + 101 = 101(k + 1)

n(n +101) = 101k ⋅ 101(k + 1) = 101²k(k+1)

101²k(k + 1) = m²

Произведение взаимно простых множителей равно квадрату, значит, каждый множитель является квадратом:

k = a²

k + 1 = b²

b² - a² = k + 1 - k = 1

(b - a)(b + a) = 1

a = 0

$k=\sqrt{a}=0$

n = 101k = 0

0 — не натуральное число, поэтому нам не подходит.

Ответ:

Наибольшее натуральное n, при котором n(n+101) — точный квадрат, — это число 2500.

Answer 2

Для начала заметим, что выражение n(n+101) является произведением двух последовательных натуральных чисел и может быть записано в виде n*(n+101) = x^2, где x - натуральное число.

Разложим произведение на множители: n*(n+101) = p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak, где p1, p2, ..., pk - простые числа.

Поскольку произведение n*(n+101) является точным квадратом, каждая степень простого числа в разложении должна быть чётной.

Разберем все возможные случаи:

1. Если p1 = n и p2 = n+101: Произведение p1^a1 * p2^a2 имеет вид (n^(a1/2))*(n+101)^(a2/2), т.е. является произведением двух неполных квадратов. Такой случай невозможен, так как произведение двух неполных квадратов не может быть точным квадратом, так как их разложение на простые множители будет содержать нечётные степени простых чисел.

2. Если p1 = n и p2 ≠ n+101: Разложение выглядит следующим образом: (n^a1) * (p2^a2), где n^a1 - полный квадрат. При этом, чтобы произведение было точным квадратом, степень простого числа p2 должна быть чётной.

3. Если p1 ≠ n и p2 = n+101: Разложение выглядит следующим образом: (p1^a1) * ((n+101)^a2), где (n+101)^a2 - полный квадрат. При этом, чтобы произведение было точным квадратом, степень простого числа p1 должна быть чётной.

Из всех написанных выше случаев видно, что набор p1^a1 и p2^a2, где p1, p2 - простые числа, является полным квадратом только тогда, когда все степени простых чисел в разложении чётные.

Теперь найдем такое натуральное число n, которое будет давать разложение с наибольшими положительными показателями степеней простых чисел.

Рассмотрим случай, когда p1 - наименьшее простое число. Тогда p1 = 2, и разложение имеет вид 2^a1 * p2^a2. Чтобы получить наибольшее значение n, требуется максимизировать возможные значения p2 и a2, то есть выбрать самое большое простое число в данном случае. Следующим простым числом после 2 является 3, и рассмотрим разложение 2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36. Таким образом, наибольшее натуральное число n равно n = p1^a1 * p2^a2 = 2^2 * 3^2 = 36.

Проверим найденное значение: 36 * (36 + 101) = 36 * 137 = 4932, что является квадратом числа 66^2.

Таким образом, наибольшее натуральное число n, при котором n(n+101) является точным квадратом, равно 36.

Answer 3

Давайте рассмотрим выражение \(n(n + 101)\). Мы ищем такое натуральное число \(n\), что это выражение является точным квадратом.

Раскроем скобки:

\[n(n + 101) = n^2 + 101n\]

Теперь мы хотим, чтобы это выражение было точным квадратом. Точный квадрат имеет вид \(m^2\), где \(m\) - целое число. Таким образом, мы ищем такие целые числа \(n\) и \(m\), что:

\[n^2 + 101n = m^2\]

Перегруппируем:

\[n^2 + 101n - m^2 = 0\]

Теперь это квадратное уравнение относительно переменной \(n\). Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

\[n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае, у нас есть \(a = 1\), \(b = 101\), и \(c = -m^2\).

\[n = \frac{-101 \pm \sqrt{101^2 - 4(-m^2)}}{2}\]

Для того чтобы \(n\) было натуральным числом, дискриминант \(D\) должен быть полным квадратом. Таким образом,

\[D = 101^2 - 4(-m^2) = k^2\]

Мы ищем наименьшее положительное \(k\), для которого это верно.

Теперь решим это уравнение и найдем \(m\), а затем подставим \(m\) в выражение для \(n\).

\[k^2 = 101^2 - 4(-m^2)\]

\[k^2 = 101^2 + 4m^2\]

Следовательно, \(k\) должно быть таким, что \(k^2 - 101^2\) является полным квадратом. Это можно проверить, увеличивая \(k\) до тех пор, пока условие не выполнится.

Такой подход может потребовать некоторых вычислений и проверок, но это основной метод для решения подобных задач.