Question

Для каждого натурального k≤40 обозначим через ak количество натуральных делителей числа 40k+1, больших k и не превосходящих 40. Найдите сумму a1+a2+…+a40.

Answer 1

Ответ:

15.

Пошаговое объяснение:

Я выпишу все числа вида 40k+1 от k=1 до k=40:

41, 81, 121, 161, 201, 241, 281, 321, 361, 401, 441, 481, 521, 561, 601, 641, 681,

721, 761, 801, 841, 881, 921, 961, 1001, 1041, 1081, 1121, 1161, 1201, 1241, 1281,

1321; 1361; 1401; 1441; 1481; 1521; 1561; 1601.

Числа 41, 241, 281, 401, 521, 601, 641, 761, 881, 1201, 1321, 1361, 1481, 1601 - простые.

a1 = a6 = a7 = a10 = a13 = a15 = a16 = a19 = a22 = a30 = a33 = a34 = a37 = a40 = 0.

Рассмотрим остальные:

k2 = 81 = 3^4; a2 = 3 - это 3, 9, 27.

k3 = 121 = 11^2; a3 = 1 - это 11.

k4 = 161 = 7*23; a4 = 2.

k5 = 201 = 3*67; a5 = 0.

k8 = 321 = 3*107; a8 = 0.

k9 = 361 = 19^2; a9 = 1.

k11 = 441 = 21^2; a11 = 1.

k12 = 481 = 13*37; a12 = 2.

k14 = 561 = 3*11*17 = 17*33; a14 = 2.

k17 = 681 = 3*227; a17 = 0.

k18 = 721 = 7*103; a18 = 0.

k20 = 801 = 9*89; a20 = 0

k21 = 841 = 29^2; a21 = 1.

k23 = 921 = 3*307; a23 = 0.

k24 = 961 = 31^2; a24 = 1.

k25 = 1001 = 7*11*13; a25 = 0 - нет делителей от 25 до 40.

k26 = 1041 = 3*347; a26 = 0.

k27 = 1081 = 23*47; a27 = 0.

k28 = 1121 = 19*59; a28 = 0.

k29 = 1161 = 27*43; a29 = 0.

k31 = 1241 = 17*73; a31 = 0.

k32 = 1281 = 21*67; a32 = 0.

k35 = 1401 = 3*467; a35 = 0.

k36 = 1441 = 11*131; a36 = 0.

k38 = 1521 = 39^2; a38 = 1.

k39 = 1561 = 7*223; a39 = 0.

Сумма a1+a2+...+a40 = 3+1+2+1+1+2+2+1+1+1 = 15.

Остальные все нули.

Answer 2

Давайте разберемся с постановкой задачи.

Обозначим через \(a_k\) количество натуральных делителей числа \(40k + 1\), которые больше \(k\) и не превосходят \(40\). Нам нужно найти сумму \(a_1 + a_2 + \ldots + a_{40}\).

Для решения этой задачи, давайте разберемся с тем, как найти количество делителей числа \(40k + 1\). Заметим, что если \(d\) - делитель числа \(40k + 1\), то \(d\) должен делить разность \((40k + 1) - k = 40k\). Таким образом, делители числа \(40k + 1\) и делители числа \(40k\) совпадают.

Теперь рассмотрим, сколько у числа \(40k\) делителей. Число \(40k\) можно представить в виде \(2^3 \cdot 5 \cdot k\), и количество его делителей равно произведению степеней простых делителей на единицу больше:

\[d(40k) = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)d(k)\]

Теперь вернемся к числу \(40k + 1\). Количество его делителей будет равно произведению степеней простых делителей на единицу больше:

\[d(40k + 1) = (4 + 1)(2 + 1)(2 + 1)d(k)\]

Но нам нужны только те делители, которые больше \(k\) и не превосходят \(40\). Таким образом, количество таких делителей \(a_k\) будет равно:

\[a_k = d(40k + 1) - d(k)\]

Теперь, чтобы найти сумму \(a_1 + a_2 + \ldots + a_{40}\), мы можем просто сложить значения \(a_k\) для каждого \(k\):

\[a_1 + a_2 + \ldots + a_{40} = \sum_{k=1}^{40} (d(40k + 1) - d(k))\]

Теперь остается вычислить это выражение. Мы можем воспользоваться программой или языком программирования, чтобы выполнить подсчет.