Question

СРОЧНО!!! ПОЖАЛУЙСТА!! очень надо Розв'язати нерівність:x^2+(a^2+b^2-c^2)*x+a^2*b^2>0якщо a, b, c довжини сторін трикутника ​

Answer 1

$x^2+(a^2+b^2-c^2)x+a^2b^2>0$

Требуется решить это неравенство при условии, что a, b, c - стороны треугольника. Как известно, положительные числа могут быть длинами сторон треугольника, тогда и только тогда, когда сумма любых двух чисел больше третьего числа, то есть  a+b>c; b+c>a; c+a>b (это - так называемые неравенства треугольника).

Вычислим дискриминант данного квадратного трехчлена:

$D=(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2=(a^2+b^2-c^2)^2-(2ab)^2=$

$=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)=\left((a-b)^2-c^2\right)\left((a+b)^2-c^2\right)=$

$=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)=$

$=-(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)(a+b+c).$

Последняя скобка положительна в силу положительности чисел a, b, c, первые три положительны в силу неравенства треугольника. Учитывая минус перед скобками, делаем вывод, что дискриминант отрицателен, то есть график квадратного трехчлена не пересекается с осью абсцисс, а раз старший коэффициент положителен, график расположен выше оси абсцисс. Иными словами, неравенство выполнено при всех значениях неизвестной.

Ответ: $x\in (-\infty;+\infty).$

На этом можно было бы поставить точку, но хочется обратить внимание потенциального читателя на получившееся разложение дискриминанта на скобки. Вспомнив формулу Герона для площади треугольника

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$ где p - полупериметр, то есть

$p=\dfrac{a+b+c}{2};\ p-a=\dfrac{b+c-a}{2};\ p-b=\dfrac{a+c-b}{2};\ p-c=\dfrac{a+b-c}{2},$

делаем вывод, что дискриминант  $D=-16S^2.$ Впрочем, это замечание не имеет никакого отношения к задаче. Но ведь красиво?!

Answer 2

Звучить цікаво! Поглянемо на це разом. Дана нерівність:

\[x^2 + (a^2 + b^2 - c^2) \cdot x + a^2 \cdot b^2 > 0,\]

а також відомо, що \(a\), \(b\) і \(c\) є довжинами сторін трикутника.

Цікавою особливістю є те, що \(a\), \(b\) і \(c\) - це сторони трикутника. Таким чином, за умовою \(a\), \(b\), \(c\) повинні задовольняти умові трикутника: сума будь-яких двох сторін має бути більшою за третю сторону. Це може нам допомогти у розв'язанні нерівності.

Спочатку розглянемо \(x^2 + (a^2 + b^2 - c^2) \cdot x + a^2 \cdot b^2 > 0\) і спробуємо знайти, які умови повинні бути виконані для того, щоб ця нерівність була правдою.

Подивимося на \(x^2 + (a^2 + b^2 - c^2) \cdot x + a^2 \cdot b^2 > 0\) як на квадратне рівняння за змінною \(x\). Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою дискримінанта: \(D = b^2 - 4ac\). У нашому випадку, координати квадратного рівняння \(ax^2 + bx + c\) дорівнюють:

\(a = 1\), \(b = a^2 + b^2 - c^2\), \(c = a^2 \cdot b^2\).

Тепер обчислимо дискримінант:

\[D = (a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a^2 \cdot b^2.\]

Однак, для того щоб це було можливо, умова дискримінанта повинна бути більшою за нуль:

\[D > 0.\]

Тут досить важливо врахувати, що \(a\), \(b\) і \(c\) - сторони трикутника, тому вони повинні задовольняти умові трикутника: \(a + b > c\), \(b + c > a\) і \(a + c > b\).

Отже, щоб дискримінант був більшим за нуль, потрібно, щоб:

\[(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a^2 \cdot b^2 > 0.\]

Це може бути розкрито та спрощено до деяких умов на \(a\), \(b\) і \(c\):

\[a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2 > 0.\]

Отже, можна сказати, що нерівність \(x^2 + (a^2 + b^2 - c^2) \cdot x + a^2 \cdot b^2 > 0\) виконується, якщо квадрат дискримінанта більший за нуль. Але щоб ця умова була правильною, важливо також враховувати умови трикутника для \(a\), \(b\) і \(c\).