Question

Паша написал на доске несколько разных многочленов 3-ей степени так. ЧТО 1) каждый многочлен имеет 3 различных действительных корня: 2) любые два написанных многочлена имеют ровно один общий корень; 3) для любого корня любого из многочленов число написанных многочленов, имеющих такой корень. есть величина постоянная. Какое наибольшее число многочленов мог написать на доске Паша?

Answer 1

Ответ:

4 многочлена

Пошаговое объяснение:

1) (x-1)(x-2)(x-3)

2) (x-1)(x-4)(x-5)

3) (x-2)(x-4)(x-6)

4) (x-3)(x-5)(x-6)

Проверяем выполнение условий:

1) каждый многочлен имеет 3 различных действительных корня - ДА.

2) любые два многочлена имеют ровно один общий корень - ДА.

1 и 2 : x=1; 1 и 3 : x=2; 1 и 4 : x=3; 2 и 3 : x=4; 2 и 4 : x=5; 3 и 4 : x=6.

3) для любого корня любого из многочленов число многочленов, имеющих такой корень, есть величина постоянная и равная 2.

Все условия выполнены.

Answer 2

Давайте разберемся с каждым из утверждений:

1) Каждый многочлен имеет 3 различных действительных корня.

Для многочлена 3-ей степени общий вид выглядит следующим образом: \(ax^3 + bx^2 + cx + d\), где \(a, b, c, d\) - коэффициенты.

Так как у нас третья степень, по теореме Безу каждый многочлен имеет по крайней мере один действительный корень. А так как степень многочлена равна 3, у него всегда будет 3 действительных корня, возможно совпадающих.

2) Любые два написанных многочлена имеют ровно один общий корень.

Это означает, что если у нас есть два многочлена \(P(x)\) и \(Q(x)\), то уравнение \(P(x) = Q(x)\) имеет ровно одно решение.

3) Для любого корня любого из многочленов число написанных многочленов, имеющих такой корень, есть величина постоянная.

Это означает, что если у нас есть корень \(r\) у многочлена \(P(x)\), то любой другой многочлен, имеющий корень \(r\), также будет на доске написанным.

Теперь давайте попробуем определить максимальное количество многочленов.

Мы знаем, что каждый многочлен имеет 3 корня, и они могут пересекаться. Таким образом, если у нас есть многочлен \(P(x)\), то у нас также может быть другой многочлен \(Q(x)\) с теми же корнями. Таким образом, мы можем писать бесконечное количество многочленов.

Таким образом, на доске Паши может быть бесконечное количество многочленов, удовлетворяющих указанным условиям.