Question

ПЖ СРОЧНО!!!! Полина написала на доске несколько разных многочленов 3-ей степени так, что: 1)каждый многочлен имеет 3 различных действительных корня 2)любые два написанных многочлена имеют ровно один общий корень 3) для любого корня любого из многочленов число написанных многочленов, имеющих такой корень, есть величина постоянная. Какое наименьшее число многочленов могла написать на доске Полина?​

Answer 1

Ответ:

4 многочлена.

Пошаговое объяснение:

1) (x-1)(x-2)(x-3)

2) (x-1)(x-4)(x-5)

3) (x-2)(x-4)(x-6)

4) (x-3)(x-5)(x-6)

Проверяем выполнение условий:

1) каждый многочлен имеет 3 различных действительных корня - ДА.

2) любые два многочлена имеют ровно один общий корень - ДА.

1 и 2 : x=1; 1 и 3 : x=2; 1 и 4 : x=3; 2 и 3 : x=4; 2 и 4 : x=5; 3 и 4 : x=6.

3) для любого корня любого из многочленов число многочленов, имеющих такой корень, есть величина постоянная и равная 2.

Все условия выполнены.

Answer 2

Давайте рассмотрим условия поочередно:

1) Каждый многочлен 3-ей степени имеет 3 различных действительных корня.

2) Любые два написанных многочлена имеют ровно один общий корень.

3) Для любого корня любого из многочленов число написанных многочленов, имеющих такой корень, есть величина постоянная.

Для удовлетворения первого условия, многочлен должен иметь три различных корня. Также, учитывая второе условие, каждый следующий многочлен должен иметь общий корень с предыдущим многочленом.

Теперь давайте рассмотрим третье условие. Если у нас есть многочлен с корнем \(a\), то он не может иметь общих корней с более чем двумя другими многочленами. В противном случае число многочленов с корнем \(a\) не будет постоянным.

Таким образом, для наименьшего числа многочленов у нас будет 3 корня (по одному для каждого многочлена) и каждый следующий многочлен будет иметь общий корень с предыдущим. Таким образом, наименьшее число многочленов, которое могла написать Полина, равно 3.