Question

Паша написал на доске несколько разных многочленов так что: 1) каждый многочлен имеет 3 различных действительных корня;2) любые два написанных многочлена имеют ровно один общий корень;3) для любого корня любого из многочленов число написанных многочленов, имеющих такой корень, есть величина постоянная. Какое наибольшее чсло многочленов мог написать на доске Паша?

Answer 1

Ответ:

4 многочлена.

Пошаговое объяснение:

1) (x-1)(x-2)(x-3)

2) (x-1)(x-4)(x-5)

3) (x-2)(x-4)(x-6)

4) (x-3)(x-5)(x-6)

Проверяем выполнение условий:

1) каждый многочлен имеет 3 различных действительных корня - ДА.

2) любые два многочлена имеют ровно один общий корень - ДА.

1 и 2 : x=1; 1 и 3 : x=2; 1 и 4 : x=3; 2 и 3 : x=4; 2 и 4 : x=5; 3 и 4 : x=6.

3) для любого корня любого из многочленов число многочленов, имеющих такой корень, есть величина постоянная и равная 2.

Все условия выполнены.

Answer 2

Давайте разберемся с условием задачи. По сути, нам нужно определить максимальное количество многочленов, которые Паша мог написать на доске, удовлетворяя следующим трем условиям:

1. Каждый многочлен имеет 3 различных действительных корня. 2. Любые два написанных многочлена имеют ровно один общий корень. 3. Для любого корня любого из многочленов число написанных многочленов, имеющих такой корень, есть постоянная величина.

Давайте начнем с первого условия: каждый многочлен имеет 3 различных действительных корня. Это значит, что у каждого многочлена степени 3.

Теперь рассмотрим второе условие: любые два многочлена имеют ровно один общий корень. Если у нас есть два многочлена степени 3, то они будут иметь хотя бы один общий корень (по теореме Безу). Однако, поскольку у нас требуется, чтобы у двух многочленов был только один общий корень, то они должны иметь два общих корня, чтобы избежать ситуации, когда один из корней принадлежит обоим многочленам.

Теперь переходим к третьему условию: для любого корня любого из многочленов число написанных многочленов, имеющих такой корень, есть постоянная величина. Это означает, что каждый корень должен быть общим для одного и только одного многочлена.

Таким образом, мы можем разделить корни на группы по три, каждая группа будет соответствовать одному многочлену. Также у нас должно быть равное количество групп корней, какое бы количество многочленов мы выбрали. Поскольку каждый многочлен имеет 3 корня, то общее количество корней должно быть кратно 3.

Итак, ответ: максимальное количество многочленов, которые Паша мог написать, равно количеству корней, поделенному на 3. Поскольку число корней - это натуральное число, максимальное количество многочленов - это максимальное количество групп по 3 корня, которые можно образовать.

Таким образом, наибольшее число многочленов, которое Паша мог написать на доске, равно:

\[\frac{\text{Количество корней}}{3}.\]