Question

Решите уравнение в целых числах : 3х²+5ху+2у²=7

Answer 1

Преобразуем

3х^2+5xy-2y^2=17

3x^2+6xy-xy-2y^2=17

3x*(x+2y)-y*(x+2y)=17

(х+2у) (3х-у) =17

Теперь решаем две системы.

Первая

х + 2у = 1

3х – у = 17

Откуда

у = -2

х = 5

Вторая

х + 2у = 17

3х – у = 1

Эта система целостных решений не имеет.

Ответ:

у = -2

х = 5

Answer 2

Для решения данного уравнения в целых числах, мы можем использовать метод подстановки.

Пусть x = a и y = b, где a и b - целые числа.

Подставим x = a и y = b в исходное уравнение:

3a² + 5ab + 2b² = 7

Теперь мы можем проанализировать данное уравнение.

Заметим, что коэффициенты при a², ab и b² являются положительными числами.

Также, если a и b положительные числа, то исходное уравнение будет иметь положительное значение.

Попробуем различные значения a и b, начиная с 1:

При a = 1 и b = 1:

3(1)² + 5(1)(1) + 2(1)² = 3 + 5 + 2 = 10 ≠ 7

При a = 1 и b = 2:

3(1)² + 5(1)(2) + 2(2)² = 3 + 10 + 8 = 21 ≠ 7

При a = 1 и b = 3:

3(1)² + 5(1)(3) + 2(3)² = 3 + 15 + 18 = 36 ≠ 7

При a = 1 и b = 4:

3(1)² + 5(1)(4) + 2(4)² = 3 + 20 + 32 = 55 ≠ 7

Продолжая анализировать различные значения a и b, мы можем увидеть, что нет целочисленных решений для данного уравнения.

Таким образом, уравнение 3x² + 5xy + 2y² = 7 не имеет целочисленных решений.