Question

Для чего людям понадобились комплексные числа?​

Answer 1

Ответ:

Уникальные свойства комплексных чисел и функций нашли широкое применение для решения многих практических задач в различных областях математики, физики и техники: в обработке сигналов, теории управления, электромагнетизме, теории колебаний, теории упругости и многих других.

Пошаговое объяснение:

Комплексное число - чисто математическая абстракция. Натянуть можем на что угодно - зависит от фантазии. Применяется просто как удобная форма записи пары чисел - не более.

Наиболее известные направления науки где комплексные числа применяются на практике это квантовая механика и электротехника.

Вкратце - в квантовой механике есть такое понятие как волновая функция, которая сама по себе комплекснозначна и квадрат которой (уже действительное число) равен плотности вероятности нахождения частицы в данной точке.

В электротехнике комплесные числа нашли себя в качестве удобной замены дифурам которые неизбежно возникают при решении задач с линейными цепями переменного тока. Для этого величины описывающие систему заменяются их комплексами, где действительная часть равна активной составляющей величины, мнимая - реактивной. Расчет таким образом сильно упрощается.

Есть и масса других применений для комплексных чисел - например некоторые свойства рядов могут быть доказаны только с помощью комплексного анализа и тд.

Все эти действия правомерны, нужно только научиться мыслить вне плоскости интуитивных представлений и читать, читать, читать - со временем понимание придет

Важно в итоге вкурить что мнимая единица сама по себе ничего особенного и не означает - важны лишь ее свойства как некоторой величины которая при умножении на себя поворачивается на 90 градусов ну и некоторые другие. Тут уже можно найти массу аналогий из реальной жизни

Answer 2

The Purpose of Complex Numbers

Complex numbers were introduced to mathematics to extend the concept of real numbers and provide a solution to certain equations that cannot be solved using real numbers alone. They are a combination of a real part and an imaginary part, and are written in the form a + bi, where a and b are real numbers and i is the imaginary unit (i.e., the square root of -1).

Complex numbers have several important applications in various fields, including mathematics, physics, engineering, and computer science. Here are some key reasons why complex numbers are useful:

1. Solving equations: Complex numbers allow us to solve equations that have no real solutions. For example, the equation x^2 + 1 = 0 has no real solutions, but it can be solved using complex numbers by introducing the imaginary unit i. The solutions are x = ±i, where i is the imaginary unit.

2. Representation of oscillations: Complex numbers are used to represent oscillatory phenomena, such as alternating currents in electrical engineering and wave functions in quantum mechanics. The real part of a complex number represents the amplitude of the oscillation, while the imaginary part represents the phase.

3. Signal processing: Complex numbers are widely used in signal processing to analyze and manipulate signals. Techniques such as Fourier analysis, which decomposes a signal into its frequency components, heavily rely on complex numbers.

4. Control systems: Complex numbers are used in control systems engineering to analyze and design feedback control systems. The complex plane, also known as the Argand plane, is used to represent the behavior of complex-valued transfer functions and stability criteria.

5. Geometry: Complex numbers have a geometric interpretation. The real part represents the x-coordinate, and the imaginary part represents the y-coordinate. This allows complex numbers to be used in geometric transformations, such as rotations and translations.

6. Number theory: Complex numbers play a crucial role in number theory, the branch of mathematics that studies properties of integers and their relationships. They are used in the study of prime numbers, congruences, and Diophantine equations.

7. Computer graphics: Complex numbers are used in computer graphics to represent and manipulate 2D and 3D transformations, such as rotations, scaling, and translations.

8. Quantum mechanics: Complex numbers are fundamental in quantum mechanics, which describes the behavior of particles at the atomic and subatomic level. The wave function, which represents the state of a quantum system, is a complex-valued function.

It is important to note that the applications of complex numbers extend beyond these examples, and they continue to find new uses in various fields of study and industry.