Question

Биссектриса одного из острых углов прямоугольного треугольника делит противолежащий катет на отрезки длиной 3 см и 4 см. Найдите длины сторон треугольника.

Answer 1

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону в том же отношении, в котором относятся соответственные стороны треугольника. Следовательно, один из катетов относится к гипотенузе, как 3:4.

Длина второго катета: 3+4 = 7см.

Составим уравнение:

Пусть длина одного катета 3х, тогда длина гипотенузы 4х:

9х^2 + 49  = 16x^2

49 = 5x^2

x^2 = 49/5

x = 7/√5

Следовательно, длина одного катета 21/√5 см, гипотенузы 28/√5 см, другого катета 7 см

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства биссектрисы прямоугольного треугольника.

Сначала давайте обозначим стороны треугольника. Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол B прямой (противолежащий катет) и биссектриса этого угла AD делит катет на два отрезка: BD = 3 см и CD = 4 см.

Теперь воспользуемся свойством биссектрисы, которое гласит, что она делит противолежащий катет на отрезки, пропорциональные прилегающим катетам. Это означает, что:

BD/CD = AB/AC

Мы знаем, что BD = 3 см и CD = 4 см, поэтому подставим эти значения:

3/4 = AB/AC

Теперь мы можем найти отношение AB к AC. Для этого умножим обе стороны уравнения на 4:

(3/4) * 4 = (AB/AC) * 4

3 = AB/AC

Теперь мы знаем отношение AB к AC, и это равно 3. Теперь давайте вспомним, что у нас есть прямоугольный треугольник, и можем использовать теорему Пифагора:

AB^2 + AC^2 = BC^2

Мы знаем, что один из катетов равен 3 см, а другой равен 4 см, поэтому можем подставить их значения:

(3)^2 + (AC)^2 = (4)^2

9 + (AC)^2 = 16

Теперь выразим (AC)^2:

(AC)^2 = 16 - 9

(AC)^2 = 7

AC = √7

Таким образом, длина стороны AC равна корню из 7, а длина стороны AB равна 3 * √7. Длина гипотенузы BC равна 4 * √7. Таким образом, длины сторон треугольника равны:

AB = 3 * √7 см AC = √7 см BC = 4 * √7 см