Question

Дано 70 попарно разных натуральных чисел, каждое из которых не превышает 200. Есть ли среди них два числа, которые отличаются или на4, или на5,или на9? Ответ аргументировать.

Answer 1

Пусть 1<=a1<a2<a3<...<a70<=200 - 70 попарно разных натуральных чисел, каждое из которых не превышает 200, записанных в порядке возрастания

 

При делении на 4 эти числа могут давать в остатке 0,1,2,3. Чисел дающих при делении на 4 одинаковый остаток по принципу Дирихле будет хотя бы (70=4*17+2) 17+1=18. Эти числа отличаются между собой на число кратное 4, если среди них нет, чисел вида n и n+4, то для каждой разницы таких чисел их разница больше равно 8. Пусть 1<=b1<b2<b3<...<b18<=200 - 18 разных натуральных чисел, дающих при делении на 4 одинаковый остаток и записанных в порядке возрастания

 

200-1=199>=b18-а1=(b18-b17)+(b17-b68)+...+(b3-b2)+(b2-b1)>=(у нас 17 скобок(слагаемых, каждое из которых больше равно 8))>=8*17=136

 

отсюда делаем вывод, что таких наличие таких двух чисел (отличающихся на 4) необязательно

пример

1,2,3,4, 9,10,11,12, ..., 133,134,135,136, 141, 142

(9-1=17-9=....=141-133=8,  2-1=3-2=4-3=1)

(всех чисел 4*136/8+2=70)

 

При делении на 5 эти числа могут давать в остатке 0,1,2,3, 4. Чисел дающих при делении на 5 одинаковый остаток по принципу Дирихле будет хотя бы (70=5*14) 14. Эти числа отличаются между собой на число кратное 5, если среди них нет, чисел вида n и n+5, то для каждой разницы таких чисел их разница больше равно 10. Пусть 1<=с1<с2<с3<...<с14<=200 - 14 разных натуральных чисел, дающих при делении на 5 одинаковый остаток и записанных в порядке возрастания

 

200-1=199>=с14-с1=(с14-с13)+(с13-с12)+...+(с3-с2)+(с2-с1)>=(у нас 13 скобок(слагаемых, каждое из которых больше равно 10))>=10*13=130

 

отсюда делаем вывод, что таких наличие таких двух чисел (отличающихся на 5) необязательно

пример

1,2,3,4,5,  11,12,13,14,15, ..., 131, 132, 133,134,135

(11-1=21-11=....=131-121=10,  2-1=3-2=4-3=5-4=1)

(всех чисел 140/2=70- выбросили половину первых 140 натуральных чисел)

 

При делении на 9 эти числа могут давать в остатке 0,1,2,3, 4,5,6,7,8. Чисел дающих при делении на 9 одинаковый остаток по принципу Дирихле будет хотя бы (70=9*7+7) 7+1=8. Эти числа отличаются между собой на число кратное 9, если среди них нет, чисел вида n и n+9, то для каждой разницы таких чисел их разница больше равно 18. Пусть 1<=d1<d2<d3<...<d8<=200 - 8 разных натуральных чисел, дающих при делении на 9 одинаковый остаток и записанных в порядке возрастания

 

200-1=199>=c8-c1=(c8-c7)+(c7-c8)+...+(c3-c2)+(c2-c1)>=(у нас 7 скобок(слагаемых, каждое из которых больше равно 18))>=18*7=126

 

отсюда делаем вывод, что таких наличие таких двух чисел (отличающихся на 9) необязательно

пример

1,2,3,4,5,6,7,8,9, 19,20,21,22,23,24,25,26,27, ...,127,128,129,130,131, 132,133

(19-1=37-19=....=127-109=8,  2-1=3-2=4-3=5-4=6-5=7-6=8-7=9-8=1)

(всех чисел (117+9)/2+7=70 - выбросили половину первых 126 чисел +7 чисел)

 

ответ НЕОБЯЗАТЕЛЬНО