Question

Вычислить без правила Лопиталя предел (e^x - e^2)/(x-2) x ->2

Answer 1

Ответ: e².

Пошаговое объяснение:

1) Положим x-2=t⇒x=t+2 и при x⇒2 t⇒0. Тогда данное выражение примет вид: e²*(e^t-1)/t и требуется найти предел этого выражения при t⇒0. Так как предел e² равен e², то искомый предел равен e²*lim[(e^t-1)/t при t⇒0.

2) Положим e^t-1=z⇒t=ln(z+1) и при t⇒0 z⇒0. Тогда данный предел можно записать так: e²*lim[z/ln(z+1)]=e²/lim[ln(z+1)/z]. Обозначим A=lim[ln(z+1)/z] и рассмотрим B=e^A=lim{e^[ln(z+1)/z]}=lim[(z+1)^(1/z)]. Но предел в скобках [ ] есть ни что иное, как второй замечательный предел, равный e. Из равенства B=e^A=e находим A=1. Тогда искомый предел равен e²/A=e².  

Answer 2

Ответ:

lim

x

→

∞

x

3

e

x

2

=

lim

x

→

∞

d

d

x

[

x

3

]

d

d

x

[

e

x

2

]

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Я могу помочь вам с математическими задачами.

Для вычисления предела (e^x - e^2)/(x-2) при x -> 2 без правила Лопиталя, можно использовать следующий метод:

- Преобразовать выражение (e^x - e^2)/(x-2) к виду (e^2(e^(x-2) - 1))/(x-2), используя свойство степени e^(a-b) = e^a/e^b. - Заметить, что предел (e^(x-2) - 1)/(x-2) при x -> 2 равен производной функции e^(x-2) в точке x = 2, по определению производной. - Найти производную функции e^(x-2) по правилу d/dx[e^u] = e^u * du/dx, где u = x-2. Получаем, что производная равна e^(x-2). - Подставить x = 2 в производную и получить, что предел (e^(x-2) - 1)/(x-2) при x -> 2 равен e^0 = 1. - Умножить предел на e^2 и получить, что исходный предел равен e^2.

Ответ: предел (e^x - e^2)/(x-2) при x -> 2 равен e^2.