Question

Волшебник Макс укрепляет свой замок, имеющий форму квадрата с четырьмя башнями по углам. У Макса есть 21 талисман с волшебным свойством: если в двух соседних башнях замка спрятать в сумме больше десяти талисманов, то стена, соединяющая эти две башни, становится непробиваемой. Докажите, что, как бы Макс ни спрятал все свои талисманы в башнях, непробиваемыми станут ровно две стены замка.

Answer 1

Ответ:

Дано:

У Макса 21 талисман

Доказать:

непробиваемыми станут ровно две стены замка

Доказательство:

Пошаговое объяснение:

Можно разбить один талисман пополам , т.е.

21:2=10,5 (т) - на каждую башню, потому что непробиваемыми становятся те башни, у которых больше 10-ти талисманов.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Базисная часть: Пусть у нас есть замок, состоящий из одной башни. В таком случае, у нас нет ни одной стены, следовательно, ни одна стена не может быть непробиваемой.

Предположение: Предположим, что утверждение верно для замка с n башнями, т.е. при n башнях ровно n - 1 стена непробиваема.

Шаг индукции: Рассмотрим замок с (n+1) башней. Для начала построим замок с n башнями и по предположению индукции у нас будет n-1 непробиваемая стена. Теперь добавим одну башню на свободное место в замке.

Существует две возможности: 1. Новая башня не является соседней ни с какой другой башней в замке. В этом случае ни одна стена не меняет своего состояния и остается непробиваемой. Таким образом, количество непробиваемых стен остается n-1.

2. Новая башня является соседней с какой-то другой башней в замке. В таком случае, сумма количества талисманов в обеих соседних башнях должна быть больше 10, чтобы стена между ними стала непробиваемой. Так как у нас есть 21 талисман, то это условие всегда будет выполняться для любых двух соседних башен.

Таким образом, добавление новой башни создает одну новую непробиваемую стену. В итоге у нас будет (n-1)+1=n непробиваемая стена.

Таким образом, по принципу математической индукции, для любого замка с количеством башен больше одной, всегда будет ровно две непробиваемые стены.

Answer 3

Докажем это утверждение по индукции.

Базовый шаг: Рассмотрим случай, когда Макс спрятал в каждой башне по одному талисману. Поскольку в каждой паре соседних башен сумма талисманов будет равна 2, и эта сумма меньше 10, то ни одна стена не станет непробиваемой. Таким образом, базовый шаг выполнен.

Предположение индукции: Пусть утверждение верно для случая, когда Макс спрятал в башнях n талисманов.

Шаг индукции: Рассмотрим случай, когда Макс спрятал в башнях (n+1) талисманов. Предположим, что ни одна стена не станет непробиваемой. Рассмотрим две башни, в которых спрятаны (n+1)-й и (n+2)-й талисманы. Их сумма больше 10, что значит, что стена, соединяющая эти две башни, станет непробиваемой. Также, рассмотрим пару башен, в которых спрятаны (n+2)-й и (n+3)-й талисманы. Их сумма тоже больше 10, что означает, что стена, соединяющая эти две башни, также станет непробиваемой.

Таким образом, мы показали, что при добавлении каждого нового талисмана в башни, непробиваемыми становятся ровно две стены замка. То есть, доказали, что утверждение верно и для случая, когда Макс спрятал в башнях (n+1) талисманов.

Итак, по принципу математической индукции, мы доказали, что независимо от расположения талисманов в башнях, непробиваемыми станут ровно две стены замка.