Question

Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 8 см. Меньшая боковая сторона равна 14 см, а большая боковая сторона образует с основанием ∡45°. Найди площадь трапеции.

Answer 1

Ответ:  210 см².

Пошаговое объяснение:

ABCD - трапеция

угол CDA=45*

AB=14 см

Проведем высоту СН⊥AD.  тогда СН=DH=14 см

AD=AH+HD=8+14=22 см. (AH=BC=8 см )

Площадь S=h(a+b)/2 = CH(BC+AD)/2.

S=14(8+22)/2=7*30=210 см².  

Answer 2

Для нахождения площади прямоугольной трапеции используется формула: \( S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2} \), где \( a \) и \( b \) - основания трапеции, \( h \) - высота.

Имея меньшее основание \( a = 8 \) см и угол \( ∡45° \) между большим основанием и меньшей боковой стороной, можно найти большее основание трапеции.

Угол \( ∡45° \) означает, что большая боковая сторона равна меньшему основанию умноженному на \(\sqrt{2}\), так как в прямоугольном треугольнике с углом \(45°\) противоположные катеты равны.

\[ \text{Большее основание} = 8 \cdot \sqrt{2} \]

Теперь у нас есть все данные для нахождения площади:

- Меньшее основание \( a = 8 \) см - Большее основание \( b = 8 \cdot \sqrt{2} \) см - Меньшая боковая сторона \( c = 14 \) см

Теперь нам нужно найти высоту трапеции. Для этого можно использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном меньшей боковой стороной, высотой и большей боковой стороной:

\[ h = \sqrt{c^2 - (b - a)^2} \] \[ h = \sqrt{14^2 - (8\cdot\sqrt{2} - 8)^2} \] \[ h = \sqrt{196 - (16 - 8\cdot\sqrt{2})^2} \] \[ h = \sqrt{196 - (256 - 256\sqrt{2} + 128)} \] \[ h = \sqrt{196 - 384\sqrt{2} + 128} \] \[ h = \sqrt{324 - 384\sqrt{2}} \] \[ h = \sqrt{324} = 18 \]

Теперь, когда у нас есть все данные, можем подставить их в формулу площади трапеции:

\[ S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2} \] \[ S = \frac{{(8 + 8\cdot\sqrt{2}) \cdot 18}}{2} \] \[ S = \frac{{8\cdot(1 + \sqrt{2}) \cdot 18}}{2} \] \[ S = 72 \cdot (1 + \sqrt{2}) \approx 170.91 \, \text{см}^2 \]

Итак, площадь прямоугольной трапеции составляет примерно \(170.91\) квадратных сантиметров.