Question

Длины сторон треугольника равнобедренного АВС соответственно равны : ав=ас=5 см, вс =4 корней из 5. Через сторону ас проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника 60°.Найдите расстояние от точки В до плоскости и чертеж

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Проведем высоту ВН= h треугольника АВС.

Расстояние от С до Н обозначим х, от Н до А 4-х

Высоту вычислим из треугольника ВНС и ВНА

h²=ВС²-х²=13²-х²

h²=ВА²=АН²= 15²-(4-х)²

h²=15²-(4-х)²

13²-х²=15²-(4-х)²

169-х²=225-16+8х-х²

169 - х²=225 - 16 + 8х - х²

8х= - 40

х= -5 см

----------------------

(Отрицательное значение х указыает на то, что основание высоты h треугольника АВС находится на продолжнении его основания, и, следовательно, угол АСВ - тупой.

 Можно было бы, зная, что треугольник тупоугольный, расстояние АН обозначить как 4+х. Результат был бы тот же.)

-------------------------

h²=169-25=144

h=12

Рассмотрим треугольник ВМН. (Второй рисунок дала для большей наглядности. При решении можно использовать дополнительное построение, в котором В1М1=ВМ, а угол В1АМ1 равен 30 градусов)

Расстояние ВМ от вершины В до плоскости α - катет прямоугольного треугольника ВМН, противолежащий углу 30 градусов, и потому равен половине высоты ВН треугольника АВС

ВМ=12:2=6 см

Answer 2

Дано равнобедренный треугольник АВС, где стороны АВ и АС равны 5 см, а сторона АС равна 4√5 см. Через сторону АС проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости.

Для начала, построим данную ситуацию на чертеже:

А /\ / \ В —— С

R — расстояние от точки В до плоскости

Изобразим плоскость, составляющую угол 60° с плоскостью треугольника, так:

???? R ???? \ \ \ \ \ \ \ Пусть точка P — проекция точки В на плоскость треугольника (то есть точка пересечения перпендикуляра из В на плоскость треугольника).

А /|\ / | \ / | \ В P С

Очевидно, что треугольник АPV является прямоугольным. Поэтому у нас есть два подобных треугольника: треугольник АВС и треугольник АРV.

Также, известно, что треугольник АВС равнобедренный, поэтому угол БАР (такой обозначим угол BAC) равен 60°.

Таким образом, у нас есть два равных треугольника, в которых уголы при основании равны, их гипотенузы также равны друг другу и одной из гипотенуз равны стороны равнобедренного треугольника.

Отсюда следует, что треугольники АВС и АРV подобны, и мы можем записать пропорцию:

AV / AR = AS / AP

Зная, что AS = СА = 5 см, заметим, что AP это искомое расстояние R. Теперь найдем AR.

AR — это высота (высота опущенная из вершины А треугольника АВС), а высота можно найти по формуле:

AR = BC * sin(угол А)

BC = (AS - AC) / 2 = (5 - 4√5) / 2

Теперь осталось найти sin(угол А). Мы знаем, что tan(угол А) = BC / AC, откуда можем найти sin(угол А):

sin(угол А) = BC / √(BC^2 + AC^2)

Теперь, используя все эти значения, мы можем найти AR:

AR = BC * sin(угол А) = (5 - 4√5) / 2 * (BC / √(BC^2 + AC^2))

Теперь можем найти AP = R, подставив полученное значение AR в пропорцию:

AV / AR = AS / AP

5 / ((5 - 4√5) / 2 * (BC / √(BC^2 + AC^2))) = 5 / R

Теперь найдем R, выразив его из пропорции:

R = ((5 - 4√5) * √(BC^2 + AC^2)) / (2 * BC)

Подставив значения BC и AC, мы получим ответ в виде числа или выражения с корнем.