Question

Исследуйте функцию на четность!! с подробным решением пожалуйста!! y=tg^2x/(x^6+3x^2-1)

Answer 1

Ответ:

$f(x) = \tan^{2} ( \frac{x}{ {x}^{6} + 3 {x}^{2} - 1} )$

Функция называется четной, если

$f(x) = f( - x)$

$f( - x) = \tan^{2} ( \frac{ - x}{ {( - x)}^{6} + 3 \times {( - x)}^{2} - 1 } )$

Так как у (-x)⁶ степень четная, получаем (-x)⁶=x⁶, потому что положительно это число или отрицательное в четной степени дает все равно положительный ответ. С (-x)² такая же ситуация, поэтому запишем все в виде:

$f( - x) = \tan^{2} ( - \frac{x}{ {x}^{6} + 3 \times {x}^{2} - 1 } )$

Если задаешь вопрос откуда минус спереди дробя, просто минус сверху вынесли вперед. По тем же свойствам, что были сверху степень самого тангенса четная, поэтому

$\tan^{2} ( - x) = \tan ^{2} (x)$

Следовательно:

$f( - x) = \tan^{2} (\frac{x}{ {x}^{6} + 3 \times {x}^{2} - 1 } )$

И получилось, что

$f(x) = \tan^{2} (\frac{x}{ {x}^{6} + 3 \times {x}^{2} - 1 } )$

$f( - x) = \tan^{2} (\frac{x}{ {x}^{6} + 3 \times {x}^{2} - 1 } )$

$f(x) = f( - x)$

Следовательно, функция четная.

Answer 2

Для исследования функции на четность, необходимо проверить выполнение условия f(x) = f(-x) для любого значения x в области определения функции.

Исходная функция: y = tg^2x / (x^6 + 3x^2 - 1)

Для начала, рассмотрим значение функции при замене x на -x:

y(-x) = tg^2(-x) / ((-x)^6 + 3(-x)^2 - 1)

Упрощаем выражение:

y(-x) = tg^2(-x) / (x^6 + 3x^2 - 1)

Заметим, что tg(-x) = -tgx (тангенс является нечетной функцией).

Тогда:

y(-x) = (-tgx)^2 / (x^6 + 3x^2 - 1) = tg^2x / (x^6 + 3x^2 - 1)

Мы получили, что y(-x) = y(x), что означает, что функция является четной.

Таким образом, исследование функции на четность показало, что она является четной.