Question

Докажите теорему Пифагора (с рисунком)

Answer 1

Ответ:

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов катетов.

Доказательство первое. Представим прямоугольный треугольник следующим образом — построим квадрат, в него впишем (произвольно) ещё один квадрат так что его вершины будут лежать на сторонах первого квадрата.

Пошаговое объяснение:

S = 4·SΔ + c² = 4 · ab/2 + c²

или

S = (a + b)²

Приравняем правые части:

2ab + c² = (a + b)²

2ab + c² = a² + b² + 2ab

c² = a² + b²

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим теорему Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (стороны, противоположной прямому углу) равен сумме квадратов длин катетов (двух сторон, прилегающих к прямому углу).

Предположим, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой угол. Пусть \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника, а \(c\) - длина гипотенузы.

Тогда теорему Пифагора можно записать следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Давайте рассмотрим графическое представление этой теоремы:

          /|
         / |
      c /  | b
       /   |
      /____|
        a

На рисунке выше, сторона \(c\) - гипотенуза, а стороны \(a\) и \(b\) - катеты.

Для доказательства теоремы Пифагора существует несколько подходов. Один из наиболее известных - это геометрическое доказательство. Однако, я ограничусь алгебраическим доказательством.

Рассмотрим квадрат, построенный на гипотенузе треугольника ABC:

             |\
             | \
             |  \
             |   \
             |    \
             |     \
             |      \
             |_______\

Площадь этого квадрата равна \(c^2\).

Теперь давайте разобьем этот квадрат на четыре части, где каждая сторона квадрата будет равна длине соответствующей стороны треугольника:

          |\
          | \
        a |  \
          |   \
          |    \
          |     \
          |______\
             b

Площади этих четырех частей равны \(a^2\), \(b^2\), \(ab\), и \(ab\).

Таким образом, площадь квадрата равна сумме площадей этих четырех частей:

\[c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\]

Однако, мы видим, что \(2ab\) - это удвоенная площадь прямоугольника с катетами \(a\) и \(b\). В прямоугольном треугольнике эта площадь равна нулю, так как один из катетов всегда параллелен оси, а другой перпендикулярен ей.

Таким образом, уравнение упрощается до:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Это и есть теорема Пифагора.