Question

СРОЧНО даю 50 баллов При каких значениях Х дробь (корень Х минус корень 7/ Х минус 7) принимает наибольшее значение?

Answer 1

Ответ:

Х=8

7/8-7=7/1=7

Пошаговое объяснение:

Умножим числитель и знаменатель на корень (х) + корень (7). Сворачиваем по разности квадратов и числитель сокращается с х-7 в знаменателе. В знаменателе остаётся

корень (х) + корень (7). Так как корень всегда неотрицателен, очевидно наименьшее значение знаменателя равно корень (7). Значит, наибольшее значение дроби достигается при х=0.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную дробь более подробно и найдем условия, при которых она принимает наибольшее значение.

Дана дробь:

\[ f(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7} \]

Чтобы найти значения \( x \), при которых эта дробь принимает наибольшее значение, давайте применим метод дифференцирования. Для этого найдем производную функции и приравняем её к нулю:

\[ f'(x) = 0 \]

Сначала найдем производную функции \( f(x) \). Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7} \right) \]

1. Найдем производную числителя:

\[ \frac{d}{dx} (\sqrt{x} - \sqrt{7}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

2. Найдем производную знаменателя:

\[ \frac{d}{dx} (x - 7) = 1 \]

Теперь составим производную всей функции:

\[ f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (x - 7) - (\sqrt{x} - \sqrt{7}) \cdot 1}{(x - 7)^2} \]

Упростим выражение:

\[ f'(x) = \frac{1 - \sqrt{7}}{2x\sqrt{x}} \]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\[ \frac{1 - \sqrt{7}}{2x\sqrt{x}} = 0 \]

Условие \( \frac{1 - \sqrt{7}}{2x\sqrt{x}} = 0 \) выполняется только при \( x = 0 \). Однако, заметим, что данное значение \( x \) не входит в область определения функции (так как под корнем не может быть отрицательное значение). Поэтому, наше уравнение не имеет действительных корней, что означает, что у функции нет критических точек.

Таким образом, функция \( f(x) \) не имеет точек экстремума. Это означает, что она либо убывает на всей области определения, либо возрастает на всей области определения. Давайте проанализируем функцию при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \):

При \( x \to \infty \):

\[ f(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7} \]

При \( x \to \infty \) как числитель, так и знаменатель растут, и функция стремится к нулю.

При \( x \to -\infty \):

\[ f(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7} \]

При \( x \to -\infty \) числитель стремится к \(-\infty\), а знаменатель тоже стремится к \(-\infty\). Значит, функция также стремится к нулю.

Таким образом, функция не имеет максимальных значений и стремится к нулю при \( x \to \pm \infty \).