Question

Математика. Нужна помощь Даны вершины треугольника ABC. A(2,5); B(-3,1); C(0,4) Найти уравнение стороны AB, уравнение высоты CH. Уравнение медианы AM Длину высоты CH Тангенс A Уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно стороне AB

Answer 1

Даны координаты вершин треугольника ABC:  A(2,5); B(-3,1); C(0,4).

Найти:

а) уравнение стороны AB.

Находим вектор АВ = (-3-2; (1-5) = (-5; -4).

Уравнение АВ: (х - 2)/(-5) = (у - 5)/(-4) каноническое.

-4х + 8 = -5у + 25,

4х - 5у + 17 = 0 это общее уравнение АВ.

б) уравнение высоты CH. Это перпендикуляр к стороне АВ.

У перпендикуляра коэффициенты общего уравнения А и В меняются на -В и А (из условия, что их скалярное произведение равно нулю).

Уравнение СН: 5х + 4у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки С.

5*0 + 4*4 + С = 0, получаем С = -16.

Уравнение СН: 5х + 4у - 16 = 0.

в) уравнение медианы AM.

Определяем координаты точки М как середины стороны ВС.

М = (B(-3; 1) + C(0; 4))/2 = (-1,5; 2,5).

Вектор АМ = (-1,5-2); 2,5-5) = (-3,5; -2,5).

Уравнение АМ: (х - 2)/(-3,5) = (у - 5)/(-2,5).

Можно привести к целым коэффициентам:

Уравнение АМ: (х - 2)/7 = (у - 5)/5 или в общем виде

                           5х - 7у + 25 = 0.

г) ) длина высоты СН - это расстояние от точки C(0; 4) до прямой  

AB:4х - 5у + 17 = 0.  

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:

d =  |A·Mx + B·My + C|

      √(A² + B²)

Подставим в формулу данные:

d =   |4·0 + (-5)·4 + 17|

        √(4² + (-5)²)

=   |0 - 20 + 17|

     √(16 + 25)      

=    3  

√41

=   3√41 /41   ≈ 0,4685.

д) тангенс угла А определим по разности угловых коэффициентов сторон АВ и АС.

tg AB = Δy / Δx = -4/(-5) = 4/5.

Находим вектор АC = (0-2; (4-5) = (-2; -1).

tg AC = Δy / Δx = -1/(-2) = 1/2.

Отсюда находит tg A по формуле:

tg A = (tg AB – tg AC)/(1 + tg AB*tg AC) = ((4/5) – (1/2))/(1 + (4/5)*(1/2)) = (3/10)/(14/10) = 3/14.

tg A = 3/14.

е) уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно стороне AB, имеет коэффициенты при переменных, равные прямой АВ.

Получаем: СС1 = 4х - 5у + С = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки С.

4*0 – 5*4 + С = 0, отсюда С = 20.

Уравнение: 4х - 5у + 20 = 0.

Answer 2

Давайте решим эту задачу по порядку.

1. Уравнение стороны AB: Используем формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки:

Уравнение прямой: \(y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} \cdot (x - x_1)\)

Для точек A(2,5) и B(-3,1): \[y - 5 = \frac{{1 - 5}}{{-3 - 2}} \cdot (x - 2)\]

Упростим: \[y - 5 = \frac{{-4}}{{-5}} \cdot (x - 2)\] \[y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 2)\]

Умножим обе стороны на 5 для избавления от дроби: \[5y - 25 = 4 \cdot (x - 2)\]

Раскроем скобки: \[5y - 25 = 4x - 8\]

Переносим все члены с \(y\) влево, а с \(x\) вправо: \[5y = 4x + 17\]

Таким образом, уравнение стороны AB: \(4x - 5y + 17 = 0\).

2. Уравнение высоты CH: Высота перпендикулярна стороне, так что мы можем использовать уравнение прямой вида \(y - y_1 = \frac{1}{k} \cdot (x - x_1)\), где \(k\) - коэффициент наклона, равный отрицательному обратному тангенсу угла наклона стороны AB. Так как угол наклона стороны AB \(k_{AB} = \frac{4}{5}\), то угол наклона высоты \(k_{CH} = -\frac{5}{4}\).

Точка H лежит на стороне AB, так что координаты H равны координатам B.

Уравнение высоты CH: \[y - 1 = -\frac{5}{4} \cdot (x + 3)\]

Упростим: \[y - 1 = -\frac{5}{4} \cdot x - \frac{15}{4}\]

Переносим все члены с \(x\) влево и константный член вправо: \[5x + 4y = 19\]

Таким образом, уравнение высоты CH: \(5x + 4y - 19 = 0\).

3. Уравнение медианы AM: Медиана делит сторону пополам, поэтому координаты точки M будут средними координатами точек A и B: \(M\left(\frac{{2 - 3}}{2}, \frac{{5 + 1}}{2}\right) = (-0.5, 3)\).

Уравнение медианы AM: Поскольку медиана проходит через середину стороны и вершину, мы можем использовать уравнение прямой вида \(y - y_1 = \frac{1}{k} \cdot (x - x_1)\), где \(k\) - коэффициент наклона, равный отрицательному обратному тангенсу угла наклона стороны AB.

Угол наклона стороны AB равен \(\frac{4}{5}\), поэтому угол наклона медианы \(k_{AM} = -\frac{5}{4}\).

Уравнение медианы AM: \[y - 3 = -\frac{5}{4} \cdot (x + 0.5)\]

Упростим: \[y - 3 = -\frac{5}{4} \cdot x - \frac{5}{8}\]

Переносим все члены с \(x\) влево и константный член вправо: \[5x + 4y = \frac{19}{8}\]

Таким образом, уравнение медианы AM: \(5x + 4y - \frac{19}{8} = 0\).

4. Длина высоты CH: Длина высоты может быть найдена по формуле \(h = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\), где \(Ax + By + C = 0\) - уравнение прямой, а \(x_1, y_1\) - координаты точки H.

Для высоты CH, уравнение прямой \(5x + 4y - 19 = 0\), и точка H(-3, 1):

\[h = \frac{|5(-3) + 4(1) - 19|}{\sqrt{5^2 + 4^2}}\]

\[h = \frac{|-15 + 4 - 19|}{\sqrt{25 + 16}}\]

\[h = \frac{|-30|}{\sqrt{41}} = \frac{30}{\sqrt{41}}\]

5. Тангенс угла A: Тангенс угла A можно найти, используя коэффициент наклона стороны AB: \(k_{AB} = \frac{4}{5}\).

6. Уравнение прямой, проходящей через точку C, параллельно стороне AB: Поскольку сторона AB задается уравнением \(4x - 5y + 17 = 0