Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = х² + 4x + 3 и y = x + 3. Построить график. пожалуйста, нужна помощь в решении.

Answer 1

Ответ:

9/2

Пошаговое объяснение:

Сначала чертим графики

y = х² + 4x + 3

Выделим полный квадрат  х² + 4x + 3 = (х² +2*2х +4) -4 +3 = (х+2)² -1

значит, берем известный график функции у = х²,

смещаем его на -2 по оси ОХ и на -1 по оси ОУ.

y = x + 3

берем известный график у = х и смещаем его на -3 по оси ОХ.

Вот мы получили нужную нам фигуру.

Теперь по формуле Ньютона - Лейбница вычислим определенный интеграл, что и будет площадью фигуры

$\displaystyle S=\int\limits^a_b {\bigg (y_1(x) -y_2(x)\bigg )} \, dx$   , где

х ∈ [a; b] ;    за у₁(х) принимают функцию, график которой лежит "выше" на отрезке  [a; b]

Для нашего случая

$\displaystyle S=\int\limits^0_{-3} {\bigg ((x+3)-(x^2+4x+3)\bigg )} \, dx =\int\limits^0_{-3} { (-x^2-3x)} \, dx =\\\\\\=\bigg (-\frac{x^3}{3} \bigg ) \bigg |_{-3}^0-3\frac{x^2}{2} \bigg |_{-3}^0=-9+\frac{27}{2} =\boldsymbol {\frac{9}{2} }$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x² + 4x + 3 и y = x + 3, мы можем использовать метод интегрирования. Сначала найдем точки пересечения этих двух кривых, а затем вычислим определенный интеграл между этими точками.

Нахождение точек пересечения кривых

Для нахождения точек пересечения кривых y = x² + 4x + 3 и y = x + 3, мы должны приравнять их уравнения и решить полученное квадратное уравнение.

x² + 4x + 3 = x + 3

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

x² + 4x - x + 3 - 3 = 0

x² + 3x = 0

Факторизуем полученное квадратное уравнение:

x(x + 3) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения x: x = 0 и x = -3.

Вычисление площади фигуры

Теперь, когда мы знаем точки пересечения кривых, мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, с помощью определенного интеграла.

Площадь фигуры можно выразить следующим образом:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a и b - значения x, соответствующие точкам пересечения кривых, f(x) - верхняя функция (x² + 4x + 3), g(x) - нижняя функция (x + 3).

Таким образом, площадь фигуры равна:

S = ∫[-3, 0] (x² + 4x + 3 - (x + 3)) dx

Вычислим этот определенный интеграл:

S = ∫[-3, 0] (x² + 3x) dx

Интегрируя это выражение, получим:

S = [x³/3 + (3/2)x²] [-3, 0]

Подставим значения верхнего и нижнего пределов интегрирования:

S = [(0³/3 + (3/2)0²) - ((-3)³/3 + (3/2)(-3)²)]

S = [(0 + 0) - ((-27/3) + (27/2))]

S = [0 - (-9 + 27/2)]

S = [0 - (-9/2 + 27/2)]

S = [0 - 18/2]

S = [0 - 9]

S = -9

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² + 4x + 3 и y = x + 3, равна -9.

Построение графика

Для построения графика этих двух кривых, мы можем использовать графический инструмент, такой как графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков, например, Matplotlib в Python.

Вот график, построенный с использованием Matplotlib:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-5, 2, 100)
y1 = x**2 + 4*x + 3
y2 = x + 3

plt.plot(x, y1, label='y = x² + 4x + 3')
plt.plot(x, y2, label='y = x + 3')
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1 >= y2), color='gray', alpha=0.5)

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = x² + 4x + 3 and y = x + 3')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Этот код построит график двух кривых и закрасит область между ними, представляющую фигуру, ограниченную этими линиями.

Надеюсь, эта информация будет полезной! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.