Question

Решите уравнение в натуральных числах 2^n-7^m=1​

Answer 1

Відповідь:

Методом подбора

n=1; m =0

Покрокове пояснення:

Answer 2

Это уравнение 2^n - 7^m = 1 представляет собой диофантово уравнение, которое рассматривается в контексте натуральных чисел (целых положительных чисел). Давайте рассмотрим возможные решения.

1. Посмотрим на четные и нечетные значения n.

a. Если n - четное, то 2^n всегда будет четным числом. Следовательно, 2^n - 7^m не может быть равным 1, так как 1 нечетно.

b. Если n - нечетное, то 2^n - нечетное число. Рассмотрим деление 2^n - 1 на 7. Очевидно, что 2^n - 1 не делится на 7 (поскольку 2^n - 1 нечетное), поэтому нам нужно проверить, есть ли такое m, что 7^m ≡ 1 (mod 2^n).

2. Рассмотрим уравнение 7^m ≡ 1 (mod 2^n).

По малой теореме Ферма, если p - простое число, то a^(p-1) ≡ 1 (mod p), при условии, что a не делится на p. В данном случае p = 2 и a = 7. Поскольку 7 нечетное и не делится на 2, то 7^(2-1) ≡ 1 (mod 2).

Таким образом, у нас есть m = 1, при котором 7^m ≡ 1 (mod 2). Это единственное натуральное число m, удовлетворяющее этому условию.

Таким образом, уравнение 2^n - 7^m = 1 имеет решение при n = 1 и m = 1. То есть, единственное натуральное решение этого уравнения - n = 1, m = 1.