Question

Паша и Миша вышли из школы и пошли в разные стороны с равными скоростями. Миша шёл, не меняя скорость, а Паша каждый следующий километр шёл в 2 раза медленнее, чем предыдущий. Когда Миша прошёл на 11 км больше Паши, они пошли обратно и с теми же скоростями, которые были у них в тот момент. Что произойдет раньше: Миша вернётся в школу или Паша пройдет полпути до школы? Почему? (Рекомендуем решать графически.)

Answer 1

Ответ:

Миша раньше вернётся.

Пошаговое объяснение: взять за скорость 5 км в час . Через 3 часа Миша ушёл за 15 км. Обратно шёл тоже 3 часа.

Паша 1 км шёл 12мин, 2й км шёл 24мин,  3 км шёл 48мин, 4км шёл 96мин. Это 180мин = 3часа и 4 км прошёл. Это на 11 меньше Мишиных 15 км. Обратно за 3 часа Паша прошёл со скоростью 1км за 96мин. Полпути это 2км. 2 км это 192 минуты. Ну а Миша уже через 180 мин. В школе.

Answer 2

Давайте рассмотрим эту задачу графически. Пусть \( x \) будет расстоянием, которое прошёл Паша (в километрах), а \( y \) — расстоянием, которое прошёл Миша (в километрах).

По условию:

1. Миша и Паша вышли из школы и пошли в разные стороны с равными скоростями. 2. Миша шёл с постоянной скоростью. 3. Паша каждый следующий километр шёл в 2 раза медленнее, чем предыдущий.

Тогда можно записать уравнения для расстояний:

\[ \begin{align*} \text{Расстояние Паши: } & x + (x - 1) + (x - 2) + \ldots \\ \text{Расстояние Миши: } & y + 11 \quad (\text{так как Миша прошёл на 11 км больше}). \end{align*} \]

Теперь рассмотрим обратный путь. Когда они пошли обратно, каждый из них прошёл ту же дистанцию, но уже в обратном направлении. Следовательно:

\[ \begin{align*} \text{Расстояние Паши обратно: } & x + (x - 1) + (x - 2) + \ldots \\ \text{Расстояние Миши обратно: } & y + 11 \quad (\text{опять таки, Миша прошёл на 11 км больше}). \end{align*} \]

Теперь давайте приравняем расстояния:

\[ \begin{align*} & x + (x - 1) + (x - 2) + \ldots = y + 11 \\ & x + (x - 1) + (x - 2) + \ldots = y + 11 \end{align*} \]

Теперь решим это уравнение:

\[ \begin{align*} & x + (x - 1) + (x - 2) + \ldots = y + 11 \\ & \frac{n(n + 1)}{2} = y + 11 \end{align*} \]

где \( n \) — количество километров, которые прошёл Паша до того, как они пошли обратно.

Теперь давайте рассмотрим, что произойдет раньше: Миша вернется в школу или Паша пройдет полпути до школы.

Мы видим, что \( y + 11 \) — это расстояние Миши. Если Миша вернется в школу, то \( y + 11 \) будет четным числом (поскольку к \( y \) добавится нечётное число 11). С другой стороны, \( \frac{n(n + 1)}{2} \) также будет четным числом (поскольку произведение двух последовательных чисел всегда делится на 2).

Таким образом, Миша вернется в школу раньше, чем Паша пройдет полпути до школы.