Question

Знайти кут між прямими x-1/-3=y+2/2 та 2x-y+3=0​

Answer 1

Ответ:

82.9°

Пошаговое объяснение:

Приведем уравнение прямых к одному виду, например, к уравнению с угловым коэффициентом

$\displaystyle \frac{x-1}{-3} =\frac{y+2}{2}$    умножим на 6, затем у влево, всё остальное вправо.

$\displaystyle -2x+2=3y+6\\\\3y = -2x -4\\\\y=-\frac{2}{3} x-\frac{4}{3}$

Второе уравнение просто перенесем всё, что при х и свободные члены вправо и умножим на -1

$\displaystyle y=2x+3$

Из уравнений прямых найдем их направляющие векторы

$\displaystyle \vec a= \bigg\{ -2/3;1} \bigg\}\\ \\\\ \vec b =\bigg \{2;1\bigg \}$

Формула для вычисления угла

$\displaystyle cos \phi = \frac{|\vec a*\vec b|}{|a|*|b|} =\frac{| a_x * b_x + a_y* b_y |}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2} *\sqrt{b_x^2 + b_y^2} }$

подставим наши значения

$\displaystyle cos \phi=\frac{| (-2/3)*2 + 1*1 |}{\sqrt{(-2/3)^2 + 1^2 }*\sqrt{2^2+1^2} } =\frac{1/3}{\sqrt{13/9}*\sqrt{5} } =\frac{\sqrt{65} }{65} \approx 0.124$

$\phi \approx 82.9^o$

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, спочатку переведемо обидві рівняння в загальну форму прямих.

Перше рівняння: x - 1/-3 = y + 2/2

Ми можемо спростити це рівняння, помноживши обидві його частини на -3:

-3(x - 1/-3) = -3(y + 2/2) 3x + 1 = -3y - 3

Отримали загальну форму першої прямої: 3x + 3y + 4 = 0.

Друге рівняння: 2x - y + 3 = 0.

Тепер ми маємо два рівняння прямих у загальній формі:

1) 3x + 3y + 4 = 0 2) 2x - y + 3 = 0

Щоб знайти кут між цими прямими, ми можемо використовувати формулу:

tan(θ) = |(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)|,

де m1 та m2 - коефіцієнти нахилу прямих.

Знайдемо коефіцієнти нахилу кожної прямої:

Для першої прямої (1):

m1 = -3/3 = -1.

Для другої прямої (2):

m2 = 2/1 = 2.

Підставимо ці значення в формулу:

tan(θ) = |(-1 - 2) / (1 + (-1) * 2)|.

tan(θ) = |-3 / (-1)| = 3.

Тепер, щоб знайти сам кут, ми можемо використовувати обернену тангенс функцію:

θ = arctan(3).

Використовуючи калькулятор, отримуємо:

θ ≈ 71.57 градусів або π/4 радіан.

Таким чином, кут між цими прямими становить приблизно 71.57 градусів або π/4 радіан.