Question

Докажите, что при любом значении a верно неравенство: а) 5а^2-6а+3>0; б) 2а<а^2+3

Answer 1

а) 5а²-6а+3>0

   y=5a²-6a+3 - парабола

  D=(-6)²-4*5*3=36-60=-24 <0, значит уравнение не имеет корней, т.е. парабола не пересекает ось Ох

  а=5 >0, значит ветви параболы направлены вверх

Итак, наша парабола расположена выше оси абсцисс, значит, её значения больше нуля при любом а, т.е. не зависят от значения а.

Что и требовалось доказать

б) 2а<a²+3

  0 < a²-2a+3

  a²-2a+3 >0

  y=a²-2a+3 - парабола

  D=(-2)²-4*1*3 = 4-12= -8 <0, значит уравнение не имеет корней, т.е. парабола не пересекает ось Ох

  а=1 >0, значит ветви параболы направлены вверх

Итак, наша парабола расположена выше оси абсцисс, значит, её значения больше нуля при любом а, т.е. не зависят от значения а.

Что и требовалось доказать

Answer 2

Ответ:

даю 2 варіанта запиши 1 зразок або 2 зразок

Answer 3

Давайте рассмотрим каждое из неравенств по отдельности и докажем их.

а) Для неравенства 5а^2 - 6а + 3 > 0:

Для начала, давайте попытаемся найти корни этого квадратного трехчлена. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 5, b = -6 и c = 3. Подставим значения и найдем дискриминант:

D = (-6)^2 - 4 * 5 * 3 = 36 - 60 = -24

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что квадратный трехчлен 5а^2 - 6а + 3 всегда положителен или всегда отрицателен.

Давайте проанализируем его поведение. Мы знаем, что коэффициент при самой высокой степени переменной (в данном случае а^2) положительный (5), что означает, что график квадратного трехчлена открывается вверх.

Чтобы определить знак квадратного трехчлена, мы можем воспользоваться техникой называемой методом интервалов. Для этого найдем вершины графика и выберем значения а, которые находятся справа и слева от этих вершин.

Вершина графика можно найти с помощью формулы: а_0 = -b / (2a)

Для нашего трехчлена 5а^2 - 6а + 3, коэффициенты a = 5 и b = -6, поэтому вершина графика будет находиться в точке а_0 = -(-6) / (2*5) = 6/10 = 0.6.

Теперь мы можем выбрать значения а, которые находятся справа и слева от вершины, например, а = 0 и а = 1.

Подставим эти значения в исходное неравенство:

При а = 0: 5*0^2 - 6*0 + 3 = 3 > 0 При а = 1: 5*1^2 - 6*1 + 3 = 2 > 0

Мы видим, что при любом значении а, неравенство 5а^2 - 6а + 3 > 0 выполняется. Таким образом, мы доказали данное неравенство.

б) Для неравенства 2а < а^2 + 3:

Давайте попробуем привести это неравенство к более простому виду. Перенесем все члены в одну сторону:

а^2 - 2а + 3 > 0

Для начала, давайте попытаемся найти корни этого квадратного трехчлена. Используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -2 и c = 3. Подставим значения и найдем дискриминант:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * 3 = 4 - 12 = -8

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что квадратный трехчлен а^2 - 2а + 3 всегда положителен или всегда отрицателен.

Поскольку коэффициент при самой высокой степени переменной (в данном случае а^2) положительный (1), график квадратного трехчлена открывается вверх.

Мы можем использовать метод интервалов, чтобы определить знак квадратного трехчлена. Для этого найдем вершину графика и выберем значения а, которые находятся справа и слева от этой вершины.

Вершина графика может быть найдена с помощью формулы: а_0 = -b / (2a)

Для нашего трехчлена а^2 - 2а + 3, коэффициенты a = 1 и b = -2, поэтому вершина графика будет находиться в точке а_0 = -(-2) / (2*1) = 2/2 = 1.

Теперь мы можем выбрать значения а, которые находятся справа и слева от вершины, например, а = 0 и а = 2.

Подставим эти значения в исходное неравенство:

При а = 0: 0^2 - 2*0 + 3 = 3 > 0 При а = 2: 2^2 - 2*2 + 3 = 3 > 0

Мы видим, что при любом значении а, неравенство 2а < а^2 + 3 выполняется. Таким образом, мы доказали данное неравенство.

Итак, мы доказали, что при любом значении а выполняются неравенства: а) 5а^2 - 6а + 3 > 0 б) 2а < а^2 + 3