Question

Известно ,что в геометрической прогрессии разность четвертого и второго членов равна 42,а сумма второго и третьего членов равна 7. Найдите первый член данной прогрессии и знаменатель.

Answer 1

b(n) = b(n-1)*q

b(4) - b(2) = 42

b(2) + b(3) = 7

--

b(1)q³ - b(1)q = 42

b(1)q + b(1)q² = 7

---

b(1)q*(q² - 1) = b(1)q(q - 1)(q + 1) = 42

b(1)q(1 + q) = 7

----

7(q - 1) = 42

q = 7

b(1)q(q + 1) = 7

b(1)*7*8 = 7

b(1) = 1/8

Answer 2

Задача: Известно, что в геометрической прогрессии разность четвертого и второго членов равна 42, а сумма второго и третьего членов равна 7. Найдите первый член данной прогрессии и знаменатель.

Решение:

Пусть первый член геометрической прогрессии будет равен a, а знаменатель будет равен r.

Тогда второй член будет равен ar, третий член будет равен ar^2, а четвертый член будет равен ar^3.

Из условия задачи мы знаем, что разность четвертого и второго членов равна 42:

ar^3 - ar = 42 (уравнение 1)

Мы также знаем, что сумма второго и третьего членов равна 7:

ar + ar^2 = 7 (уравнение 2)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

Рассмотрим уравнение 2:

ar + ar^2 = 7

Вынесем общий множитель ar:

ar(1 + r) = 7

Теперь рассмотрим уравнение 1:

ar^3 - ar = 42

Вынесем общий множитель ar:

ar(r^2 - 1) = 42

Мы можем заметить, что (r^2 - 1) в уравнении 1 равно (1 + r)(r - 1), поэтому мы можем переписать уравнение 1 следующим образом:

ar(1 + r)(r - 1) = 42

Теперь мы можем сделать вывод, что:

ar(1 + r)(r - 1) = 7 * 6

Таким образом, у нас есть система уравнений:

ar(1 + r)(r - 1) = 42 (уравнение 1) ar(1 + r) = 7 (уравнение 2)

Мы можем делить оба уравнения, чтобы избавиться от переменной ar:

(r - 1) = 42 / 7

(r - 1) = 6

r = 7

Теперь мы можем подставить значение r в уравнение 2:

ar(1 + r) = 7

a * 7(1 + 7) = 7

a * 7 * 8 = 7

56a = 7

a = 7/56

a = 1/8

Таким образом, первый член данной геометрической прогрессии равен 1/8, а знаменатель равен 7.