Question

Розв'яжіть нерiвнiсть log2(x + 3) + log2 x < 2.​

Answer 1

Відповідь:

хє(0; 1)

Покрокове пояснення:

ОДЗ: х+3>0 та х>0 -> х>0

log2(x + 3) + log2 x < 2.​

log2((x + 3) ×x )< 2×log2 2​

Так як основа логарифма 2>1, то знак нерівності зберігається

х(х+3)<2²

х²+3х<4

х²+3х-4<0

х=(-3±√(9+16))/2=(-3±5))/2, х1=-4, х2=1

(х+4)(х-1)<0

Методом інтервалів маємо

____+__-4______-_____1____+______

На інтервалі хє(-4; 1) квадратний трьохчлен буде <0, але враховуючи ОДЗ маємо корні логарифмічного рівняння : хє(0; 1)

Answer 2

Для розв'язання даної нерівності, спочатку ми можемо використати властивості логарифмів для об'єднання двох логарифмів у один. Вираз можна записати таким чином:

log2((x + 3) * x) < 2

Потім ми можемо використати властивість логарифмів, що каже, що логарифм від добутку дорівнює сумі логарифмів:

log2(x + 3) + log2(x) < 2

Тепер ми можемо зберегти лише один логарифм на лівій стороні нерівності. Для цього, використаємо властивість логарифмів, що каже, що сума логарифмів дорівнює логарифму від добутку:

log2((x + 3) * x) < 2

Тепер, щоб розв'язати нерівність, ми можемо використати експонентацію з основою 2 для обох сторін нерівності:

2^(log2((x + 3) * x)) < 2^2

(x + 3) * x < 4

Тепер, ми можемо розкласти цю нерівність на дві окремі нерівності:

x^2 + 3x < 4

x^2 + 3x - 4 < 0

Для розв'язання цієї квадратної нерівності, ми можемо застосувати методи факторизації або використати квадратне рівняння. У цьому випадку, ми можемо факторизувати ліву частину нерівності:

(x + 4)(x - 1) < 0

Тепер, ми можемо використати правило знаків для визначення значень x, при яких нерівність виконується:

(x + 4) < 0 і (x - 1) > 0

x < -4 і x > 1

Отже, розв'язком даної нерівності є множина відкритих інтервалів (-∞, -4) і (1, +∞), де нерівність виконується.