Question

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, проходящего через точки: 1) A (3; -3,2) и B (-4; -2,4) 2) A (-3; 1,75) и эксцентриситет 0,75

Answer 1

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, проходящего через точки:

1) A (3; -3,2) и B (-4; -2,4)

2) A (-3; 1,75) и эксцентриситет 0,75.

1) Даны две точки: A (3; -3,2) и B (-4; -2,4).

Подставляем координаты заданных точек в уравнение эллипса

(x²/a²) + (y²/b²) = 1

и решаем систему из двух уравнений с двумя параметрами a и b.

{(3²/a²) + ((-3,2)²/b²) = 1 (для точки А),

{((-4)²/a²) + ((-2,4)²/b²) = 1 (для точки В).

{(9/a²) + (10,24/b²) = 1,

{(16/a²) + (5,76/b²) = 1.

Приравнивая левые части, выразим одну переменную через другую

(9/a²) + (10,24/b²) = (16/a²) + (5,76/b²),

9b² + 10,24a² = 16b² + 5,76a²,

10,24a² - 5,76a² = 16b² - 9b²,

4,48a² = 7b²,

a² = (7/4,48)b² и подставим в уравнение эллипса для точки А.

(3²/(7/4,48)b²) + ((-3,2)²/b²) = 1,

9*4,48 + 7*10,24 = 7b²,

40,32 + 71,68 = 7b²,

112 = 7b²,

b² =112/7 = 16,

b = √16 = 4.

Находим второй параметр a² = (7/4,48)b²  = (7/4,48)*16 = 1,5625*16 = 25.

Отсюда а = √25 = 5.

Получаем уравнение эллипса:

(x²/5²) + (y²/4²) = 1.

2) Дана точка A (-3; 1,75) и эксцентриситет эллипса е = 0,75 = 3/4.

Используем свойства эллипса.

Применим формулу е = с/а, отсюда с = е*а = (3/4)а.

Далее из формулы a² = b² + c² находим:

b² = a² - c² = a² - (9/16)a² = (7/16)a².  

Используем координаты заданной точки A (-3; 1,75) в уравнении эллипса:

((-3)²/a²) + (1,75²/(7/16)a²) = 1,

(9/a²) + ((49/16)/(7/16)a²) = 1,

(9/a²) + (7/a²) = 1,

16 = a², отсюда а = √16 = 4.

Находим значение b² = (7/16)a² = (7/16)*16 = 7.

b = √7.

Получаем уравнение эллипса:

(x²/4²) + (y²/(√7)²) = 1.

Answer 2

Для составления уравнения эллипса, симметричного относительно координатных осей, проходящего через указанные точки и имеющего заданный эксцентриситет, мы можем использовать общую формулу уравнения эллипса:

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

где a и b - полуоси эллипса.

Уравнение эллипса через точки A(3, -3.2) и B(-4, -2.4):

Для нахождения полуосей a и b, нам нужно знать координаты фокусов эллипса (F1 и F2). Мы можем использовать эксцентриситет (e) для определения расстояния от фокусов до центра эллипса (c). Формула связи между эксцентриситетом, полуосью и фокусными расстояниями:

c = ae

Для данного эллипса эксцентриситет (e) равен 0.75. Также известно, что эллипс симметричен относительно координатных осей, поэтому его фокусы будут находиться на оси x и оси y.

1. Находим фокусные расстояния: Для оси x: c_x = a * e = a * 0.75 Для оси y: c_y = b * e = b * 0.75

2. Находим координаты фокусов: Для оси x: F1(x, 0) и F2(-x, 0) Для оси y: F3(0, y) и F4(0, -y)

3. Используя координаты фокусов и точек A, B, мы можем составить систему уравнений и решить ее, чтобы найти значения a и b.

Система уравнений: (x - 3)^2 + (-3.2)^2 = (x + 4)^2 + (-2.4)^2 (x - 3)^2 + (-3.2)^2 = (x + 3)^2 + (1.75)^2

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения a и b.

Уравнение эллипса через точку A(-3, 1.75) и эксцентриситет 0.75:

Для составления уравнения эллипса, симметричного относительно координатных осей и проходящего через точку A(-3, 1.75), нам также понадобится знать фокусное расстояние и эксцентриситет.

1. Находим фокусное расстояние: c = a * e

2. Находим координаты фокусов: Фокусы будут находиться на оси x и оси y: Для оси x: F1(x, 0) и F2(-x, 0) Для оси y: F3(0, y) и F4(0, -y)

3. Используя координаты фокусов и точку A(-3, 1.75), мы можем составить уравнение эллипса.

Таким образом, для составления уравнения эллипса, симметричного относительно координатных осей, проходящего через указанные точки и имеющего заданный эксцентриситет, необходимо решить систему уравнений, чтобы найти значения полуосей a и b, а затем использовать эти значения для записи уравнения эллипса в общей форме.