Question

Знайти экстремуми функції y=2x^3-12x+1​

Answer 1

Ответ: ±√2

Пошаговое объяснение:

1) Находим производную

y' = 6x^2-12

2) Приравниваем к нулю и находим экстремумы

6x^2-12=0

6x^2=12

x^2=2

x=±√2

Answer 2

Для пошуку екстремумів функції y = 2x^3 - 12x + 1, спочатку треба знайти похідну цієї функції і прирівняти її до нуля. Екстремуми функції відповідають точкам, де похідна дорівнює нулю або не існує.

Похідна функції y = 2x^3 - 12x + 1:

dy/dx = 6x^2 - 12

Тепер прирівняємо похідну до нуля і розв'яжемо рівняння:

6x^2 - 12 = 0

Розділимо обидві частини рівняння на 6:

x^2 - 2 = 0

Додамо 2 до обох боків рівняння:

x^2 = 2

Візьмемо квадратний корінь від обох частин рівняння:

x = ±√2

Таким чином, ми отримали дві можливі точки, де можуть знаходитися екстремуми функції: x = √2 та x = -√2.

Тепер, щоб з'ясувати, чи є ці точки точками максимуму або мінімуму, ми можемо застосувати другу похідну тест. Для цього треба знайти другу похідну функції і вставити значення x.

Друга похідна функції y = 2x^3 - 12x + 1:

d^2y/dx^2 = 12x

Підставимо значення x = √2 та x = -√2 в другу похідну:

d^2y/dx^2 (x = √2) = 12√2

d^2y/dx^2 (x = -√2) = -12√2

Якщо d^2y/dx^2 > 0, то точка є точкою мінімуму, а якщо d^2y/dx^2 < 0, то точка є точкою максимуму.

Таким чином, ми маємо дві можливі точки екстремуму: x = √2 та x = -√2. Підставляючи ці значення в початкову функцію, ми можемо знайти відповідні значення y.

Значення екстремумів функції:

Підставимо x = √2 в початкову функцію:

y = 2(√2)^3 - 12(√2) + 1

y = 2√8 - 12√2 + 1

y = 4√2 - 12√2 + 1

y = -8√2 + 1

Таким чином, один з екстремумів функції є точкою (-√2, -8√2 + 1).

Тепер підставимо x = -√2 в початкову функцію:

y = 2(-√2)^3 - 12(-√2) + 1

y = -2√8 + 12√2 + 1

y = -4√2 + 12√2 + 1

y = 8√2 + 1

Таким чином, інший екстремум функції є точкою (√2, 8√2 + 1).

Отже, функція y = 2x^3 - 12x + 1 має дві точки екстремуму: (-√2, -8√2 + 1) та (√2, 8√2 + 1).