Question

Знайдіть всі значення a при яких рівняння (a+2)sinx =a^2-4

Answer 1

_____________________

Answer 2

Для початку, давайте розв'яжемо рівняння `(a + 2)sin(x) = a^2 - 4` для знаходження всіх значень `a`, при яких це рівняння має розв'язки.

Заміна та спрощення

Для спрощення рівняння використаємо тригонометричну тотожність: `sin^2(x) + cos^2(x) = 1`. Замінимо `sin(x)` на `sqrt(1 - cos^2(x))`, щоб отримати квадратне рівняння.

`(a + 2)sqrt(1 - cos^2(x)) = a^2 - 4`

Квадратне рівняння

Тепер ми можемо побачити, що рівняння має форму квадратного рівняння відносно `cos(x)`. Позначимо `y = cos(x)`, тоді рівняння стає:

`(a + 2)sqrt(1 - y^2) = a^2 - 4`

Розв'язок квадратного рівняння

Розкривши ліву частину рівняння і квадратуючи обидві частини, отримаємо:

`(a + 2)^2(1 - y^2) = (a^2 - 4)^2`

Розкривши дужки та спрощуючи, ми отримаємо квадратне рівняння:

`4y^2 - 4(a + 2)y + (a^2 - 4)(a^2 - 4 - 4) = 0`

Вирішення квадратного рівняння

Тепер ми можемо використати квадратну формулу для знаходження значень `y`:

`y = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)`

де `a = 4`, `b = -4(a + 2)`, і `c = (a^2 - 4)(a^2 - 4 - 4)`.

Знаходження `y`

Підставимо ці значення в квадратну формулу і отримаємо два значення `y`. Позначимо їх як `y1` і `y2`.

Знаходження `x`

Тепер, знаючи значення `y`, ми можемо знайти значення `x`. Використовуючи вираз `y = cos(x)`, ми отримаємо:

`x = arccos(y)`

Знаходження `a`

Зауважимо, що у нашому початковому рівнянні `a` з'являється як невідомий параметр. Тому, знаючи значення `x`, ми можемо вирішити це рівняння для `a`. Підставимо значення `x` в початкове рівняння і отримаємо:

`(a + 2)sin(x) = a^2 - 4`

Розглянемо окремо значення `a`

Таким чином, для кожного значення `a`, при якому ми знайшли значення `x`, ми можемо вирішити це рівняння для `a`. Це дозволяє нам знайти всі значення `a`, при яких рівняння `(a + 2)sin(x) = a^2 - 4` має розв'язки.

Задача

Ви могли помітити, що у нашому розв'язку використовуються квадратні формули та тригонометричні функції. Для конкретних значень `a` та `x` ми можемо обчислити значення `sin(x)`, `cos(x)` і т.д., використовуючи наявні функції обчислення, такі як математичні бібліотеки у багатьох мовах програмування.