Question

Помогите решить хоть что-нибудь Часть 513. Равносильность уравнений, неравенств, систем. Какие уравнения/неравенства называют равносильными? Приведите примеры. 14. Рациональные, иррациональные неравенства. Дайте определения и приведите примеры. 15. Какие существуют методы решения уравнений, неравенств. ​

Answer 1

13. Равносильные уравнения и неравенства - те, что имеют одинаковые множества решений. Кстати, если, например, у уравнений нет решений, то они тоже считаются равносильными.

Приведём простые уравнения: 2х=-6 и х²+6х+9=0. В первом уравнении получим корень -3. Во втором квадратном уравнении получим D=0, из чего следует единственный корень -3.

Неравенства: 2х-6>0 и  $\frac{2}{3x-9}\geq 0$ (оба неравенства имеют решение х>3).

14. Определения рациональных и нерациональных неравенств различаются только несколькими словами. Рациональные - те неравенства, обе части которых - рациональные выражения. То есть переменная не находится под корнем. Такие неравенства приведены выше. А иррациональные - те, в которых переменная находится под корнем. Например: $\sqrt{x^{2}+8}-2x\leq 0$

15. Для уравнений говорят о графическом методе (например, построение параболы и решение с помощью графика квадратного уравнения), методе замены переменной (это необходимо, например, в биквадратных уравнениях)... Также ещё в школах при изучении формул сокращённого умножения нас знакомят с методом разложения на множители. Здесь можно говорить и о каждом виде уравнений отдельно. У всех есть подводные камни и свои заковырки)) Способы решения алгебраических уравнений (линейные, квадратные - в частности биквадратные, - дробно-рациональные, иррациональные) более простые, нежели у трансцендентных уравнений (тригонометрические, логарифмические, показательные). У последних есть свои методы, такие как, например, использование свойств функций, входящих в уравнение (обращение к условию равенства тригонометрических функций, использование свойств ограниченности функций).

У неравенств тоже о-очень много видов, способов решений. Основные - графический, алгебраический, метод интервалов. Если выйти дальше, то говорим о "расщеплении" неравенств, рационализации (применим к показательным неравенствам) и т.д.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый вопрос по порядку.

1. Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Уравнения или неравенства называются равносильными, если они имеют одинаковое множество решений. То есть, если для любого значения переменных, которое является решением одного из уравнений (неравенств), оно также является решением другого. Равносильные уравнения (неравенства) могут быть записаны по-разному, но иметь одинаковые решения.

Пример: \[ x + 2 = 5 \] и \[ 2x = 3 \]

Эти два уравнения равносильны, потому что решениями обоих является \( x = 3 \).

2. Рациональные и иррациональные неравенства.

Рациональные неравенства — это такие неравенства, в которых переменные могут принимать значения, которые являются рациональными числами. Пример:

\[ \frac{x}{2} > 3 \]

Иррациональные неравенства — это такие неравенства, в которых переменные могут принимать значения, которые являются иррациональными числами. Пример:

\[ \sqrt{x + 1} < 4 \]

3. Методы решения уравнений и неравенств.

Уравнения: - *Метод подстановки:* Подставляются различные значения переменных, пока не будет найдено решение. - *Метод выделения полного квадрата:* Применяется для уравнений второй степени. - *Метод группировки:* Уравнение группируется так, чтобы можно было выделить общий множитель.

Неравенства: - *Метод интервалов:* Используется для неравенств, в которых переменная находится между двумя значениями. - *Метод знаков:* Используется для анализа знаков выражений в неравенствах. - *Метод дополнительных точек:* Применяется для неравенств, где возможно изменение знака.

Это лишь несколько базовых методов, и в зависимости от конкретного вида уравнений или неравенств могут использоваться различные стратегии.

Надеюсь, эти пояснения помогут вам лучше понять тему. Если у вас есть конкретные вопросы или уточнения, не стесняйтесь задавать.