Question

Найти проекцию точки А(3;2;-1) на плоскость 2x+3y-z-4=0​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Найдём направляющий вектор плоскости:

n = {2;3;-1}

Составим параметрическое уравнение плоскости:

x = 2t + 3

y = 3t + 2

z = -t- 1

Подставим их в начальное уравнение:

2(2t+3) + 3(3t+2) - (-t-1) -4 = 0

4t + 6 + 9t +6 + t +1 -4 = 0

14t +9 = 0

t= -9/14

Подставим в параметрическое уравнение плоскости:

x = 2*(-9/14) + 3

y = 3(-9/14) + 2

z = 9/14 - 1

x= 12/7

y= 1/14

z= -5/14

Ответ: {12/7; 1/14; -5/14}

Answer 2

Для нахождения проекции точки A(3, 2, -1) на плоскость 2x + 3y - z - 4 = 0, мы можем использовать следующий метод:

1. Найдите вектор нормали к плоскости. В данном случае, коэффициенты перед x, y и z в уравнении плоскости представляют нормальный вектор. Таким образом, нормальный вектор будет (2, 3, -1).

2. Найдите направляющий вектор линии, проходящей через точку A и перпендикулярной плоскости. Это можно сделать, вычислив проекцию вектора точки A на нормальный вектор плоскости. Формула для вычисления проекции вектора B на вектор A: proj_A(B) = (B \cdot A / |A|^2) * A, где \cdot обозначает скалярное произведение векторов, |A| - длина вектора A. В данном случае, вектор A = (3, 2, -1) и вектор B = (2, 3, -1). Рассчитаем проекцию:

proj_A(B) = ((2, 3, -1) \cdot (3, 2, -1) / |(3, 2, -1)|^2) * (3, 2, -1) = ((6 + 6 + 1) / (9 + 4 + 1)) * (3, 2, -1) = (13 / 14) * (3, 2, -1) = (39/14, 26/14, -13/14)

3. Найдите координаты проекции точки A на плоскость, используя направляющий вектор и начальную точку (точку A). Это можно сделать, сложив координаты точки A с координатами проекции вектора:

Координаты проекции = (3, 2, -1) + (39/14, 26/14, -13/14) = (3 + 39/14, 2 + 26/14, -1 - 13/14) = (117/14, 109/14, -27/14)

Таким образом, проекция точки A(3, 2, -1) на плоскость 2x + 3y - z - 4 = 0 равна (117/14, 109/14, -27/14).