Question

Найти производную y=(tg4x)^(ctg4x)

Answer 1

---------------------------

Answer 2

Чтобы найти производную функции y = (tg(4x))^(ctg(4x)), мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (chain rule) и правилами дифференцирования элементарных функций.

Давайте разобьем функцию на две части: внешнюю функцию f(u) = u^(ctg(4x)) и внутреннюю функцию u = tg(4x). Затем найдем производные каждой из этих функций и применим правило дифференцирования сложной функции, чтобы получить производную исходной функции y.

1. Найдем производную внешней функции f(u) = u^(ctg(4x)). Для этого мы воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции. Производная f'(u) будет равна ctg(4x) * u^(ctg(4x) - 1).

2. Теперь найдем производную внутренней функции u = tg(4x). Производная u'(x) будет равна 4 * (sec(4x))^2.

3. Применим правило дифференцирования сложной функции: (f(u))' = f'(u) * u'(x). В нашем случае это будет: y' = f'(u) * u'(x) = (ctg(4x) * u^(ctg(4x) - 1) * 4 * (sec(4x))^2.

После замены u на tg(4x) и упрощения получим итоговую производную:

y' = (ctg(4x) * (tg(4x))^(ctg(4x) - 1) * 4 * (sec(4x))^2.

Таким образом, мы получили подробный ответ на вопрос о производной функции y = (tg(4x))^(ctg(4x)).