Question

Проверить, является ли уравнение однородным. Найти общее решение дифференциального уравнения (если можно, поподробнее, пожалуйста): y'=(y/x)+(sin^2)(y/x)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Классическое дифференциальное уравнение называется однородным, если его можно представить в виде \(F(y/x) = 0\). Уравнение \(y' = \frac{y}{x} + \sin^2\left(\frac{y}{x}\)\) не является однородным, так как оно содержит слагаемое \(\frac{y}{x}\) и \(\sin^2\left(\frac{y}{x}\)\), и нет возможности представить его в виде \(F(y/x) = 0\).

Чтобы решить это уравнение, можно воспользоваться методом подстановки. Проведем замену переменной: \(v = \frac{y}{x}\). Затем продифференцируем это выражение по \(x\), чтобы найти \(y'\):

\(\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}\)

Теперь заменим \(y'\) в исходном уравнении:

\(v + x\frac{dv}{dx} = v + \sin^2(v)\)

Заметим, что \(v\) сокращается на обеих сторонах уравнения, оставляя уравнение:

\(x\frac{dv}{dx} = \sin^2(v)\)

Это уравнение можно решить, интегрируя обе стороны. Давайте разделим переменные:

\(\frac{dv}{\sin^2(v)} = \frac{dx}{x}\)

Теперь проинтегрируем обе стороны:

\(\int \frac{1}{\sin^2(v)} dv = \int \frac{1}{x} dx\)

Для интегрирования левой части воспользуемся тригонометрической подстановкой: \(\csc^2(v) = \frac{1}{\sin^2(v)}\)

\(\int \csc^2(v) dv = -\cot(v) + C_1\)

Для правой части интеграл от \(\frac{1}{x}\) равен \(\ln|x| + C_2\), где \(C_1\) и \(C_2\) - константы интегрирования.

Таким образом, получаем:

\(-\cot(v) = \ln|x| + C\)

Перепишем \(-\cot(v)\) в терминах \(v\):

\(\cot(v) = -\ln|x| - C\)

Используя замену переменной \(v = \frac{y}{x}\), получаем:

\(\cot\left(\frac{y}{x}\right) = -\ln|x| - C\)

Это уравнение является общим решением данного дифференциального уравнения.