Question

Петя хочет переписать числа 2, 3, 4, ..., 51, в другом порядке так, чтобы первое выписанное число делилось на 1, второе — на 2, третье — на 3, и так далее (последнее число должно делиться на 50). Сколькими способами он может это сделать?

Answer 1

Рассмотрим числа $26,\ldots,50$. Заметим, что $j$-ое число ($26\leq j\leq 50$) должно делиться на $j$, а потому обязано совпадать с $j$. Итак, все числа с $26$ по последнее определяются тем самым однозначно. Теперь рассмотрим числа с $1$ по $25$-ое. Понятно, что $25$-ое должно делиться на $25$, но при этом не может быть равным $50$, поскольку это число уже занято. Значит, $25$-ое число равно $25$. По такой логике дойдем до числа $17$ (поскольку число $51$ еще никуда не ставили). На это место можно поставить $17$ или $51$. Если поставить $17$, то оставшиеся числа до числа $3$ определятся однозначно, а на место $3$ снова можно поставить $51$. Итого три варианта: поставить $51$ на первое место, на $3$-е место или на $17$-е место.

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться принципом перестановок. Поскольку Петя хочет переставить числа так, чтобы первое делилось на 1, второе на 2, третье на 3 и так далее, он фактически хочет построить перестановку чисел от 1 до 50.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти количество перестановок чисел от 1 до 50. Это число известно как факториал и обозначается как \(50!\) (что означает произведение всех положительных целых чисел от 1 до 50).

\[50! = 1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 50\]

Однако, поскольку Петя хочет различные порядки чисел, нам нужно поделить это значение на количество перестановок для одинаковых элементов. В данном случае, у нас есть несколько одинаковых чисел (например, 2, 3, 4), и нам нужно разделить на факториал каждого из повторяющихся чисел.

Если \(a_1, a_2, \ldots, a_m\) - количество повторений каждого числа, то количество перестановок с учетом повторений вычисляется следующим образом:

\[\frac{50!}{a_1! \times a_2! \times \ldots \times a_m!}\]

В данном случае у нас есть повторения чисел от 2 до 25, и каждое из них повторяется дважды (поскольку Петя хочет, чтобы последнее число делилось на 50, а 50 = 2 * 25). Таким образом, количество перестановок будет:

\[\frac{50!}{2! \times 2! \times \ldots \times 25!}\]

Теперь вычислим это значение. Пожалуйста, обратите внимание, что эти вычисления могут быть сложными из-за больших чисел, и для точного ответа потребуется использовать калькулятор или компьютерную программу.