Question

8. А(1;3;1), B(-1;4;6), C(-2; –3;4). Найти a)|-2.АВ + AC|, б) направляющие углы АС.

Answer 1

Даны точки А(1;3;1), B(-1;4;6), C(-2; –3;4).

Найти:

a)|-2.АВ + AC|,

б) направляющие углы АС.

а) Находим векторы АВ и АС.

АВ = (-1-1; 4-3; 6-1) = (-2; 1; 5), 2АВ = (-4; 2; 10)

АС = (-2-1; -3-3; 4-1) = (-3; -6; 3).

Вектор, равный сумме 2АВ + АС равен:

(-7; -4; 13).

Его модуль равен  √((-7)²+(-4)²+13²) = √(49+16+169) = √234 = 3√26.

Ответ: |-2.АВ + AC| = 3√26.

б) Направляющие косинусы находим по формулам:

cos⁡α=ax/|a¯|=ax/√(ax²+ay²+az²),

cos⁡β=ay/|a¯|=ay/√(ax²+ay²+az²),

cos⁡γ=az/|a¯|=az/√(ax²+ay²+az²).

Подставим в них координаты вектора AC, получим

cos⁡α=ax/|a¯| = -3//√((-3)²+(-6)²+3²) = -3/√(9+36+9) = -3/√54 = -1/√6 = -√6/6.

cos⁡β=ay/|a¯| = −6/(3√6) = -2/√6 = -√6/3.

cos⁡γ=az/|a¯| = 3/(3√6) = 1/√6 = √6/6.

Ответ. cos α = -√6/6, cos β = -√6/3, cos γ= √6/6.

Answer 2

Для начала, давайте найдем векторы AB и AC.

AB = B - A = (-1 - 1, 4 - 3, 6 - 1) = (-2, 1, 5) AC = C - A = (-2 - 1, -3 - 3, 4 - 1) = (-3, -6, 3)

Теперь, чтобы найти выражение |AB + AC|, мы должны сложить векторы AB и AC, а затем найти длину получившегося вектора.

AB + AC = (-2, 1, 5) + (-3, -6, 3) = (-5, -5, 8)

Теперь найдем длину вектора |AB + AC|:

|AB + AC| = sqrt((-5)^2 + (-5)^2 + 8^2) = sqrt(25 + 25 + 64) = sqrt(114) ≈ 10.68

Таким образом, значение выражения |AB + AC| примерно равно 10.68.

Теперь перейдем ко второй части вопроса - нахождению направляющих углов AC.

Направляющие углы AC могут быть найдены с использованием формулы:

cos(θ) = (AC · AC) / (|AC| * |AC|),

где AC · AC представляет скалярное произведение вектора AC на самого себя, а |AC| представляет длину вектора AC.

Таким образом, давайте найдем значения направляющих углов AC:

θ_x = arccos((-3 · -3) / (sqrt((-3)^2 + (-6)^2 + 3^2) * sqrt((-3)^2 + (-6)^2 + 3^2))), θ_y = arccos((-6 · -6) / (sqrt((-3)^2 + (-6)^2 + 3^2) * sqrt((-3)^2 + (-6)^2 + 3^2))), θ_z = arccos((3 · 3) / (sqrt((-3)^2 + (-6)^2 + 3^2) * sqrt((-3)^2 + (-6)^2 + 3^2))).

Вычисляя значения направляющих углов, получим:

θ_x ≈ 0.7854 (радиан) или ≈ 45° (градусов), θ_y ≈ 1.249 (радиан) или ≈ 71.57° (градусов), θ_z ≈ 1.249 (радиан) или ≈ 71.57° (градусов).

Таким образом, направляющие углы AC примерно равны 45°, 71.57° и 71.57° по осям x, y и z соответственно.