Question

Выпуклый четырёхугольник ABCD имеет равные диагонали. Точки K, L, Ми N — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Найдите длину BD, если периметр четырёхугольника KLMN равен 32 см.​

Answer 1

Ответ:

BD=16 см

Пошаговое объяснение:

KLMN - ромб . каждая его сторона средняя линия треугольника с основанием равным диагонали и равна ее половине, а диагонали по условию равны.

Знчит LM=32:4=8 см, а BD=16 см

Answer 2

Давайте рассмотрим, что известно в задаче и какие свойства у выпуклого четырёхугольника с равными диагоналями.

Обозначим длину диагонали BD через \( x \). Так как четырёхугольник \( ABCD \) выпуклый и имеет равные диагонали, то мы можем сказать, что \( AC \) тоже равна \( x \).

Теперь рассмотрим треугольники, образованные диагоналями четырёхугольника \( ABCD \): треугольники \( ABC \) и \( ADC \). Они равны по сторонам и общей стороной \( AC \). Таким образом, эти треугольники равны и по площади. Площадь треугольника можно выразить как половину произведения длины основания на высоту. Обозначим высоту этих треугольников через \( h \). Тогда:

\[ \text{Площадь треугольника } ABC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h \]

\[ \text{Площадь треугольника } ADC = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h \]

Сумма площадей этих двух треугольников равна площади четырёхугольника \( ABCD \):

\[ \text{Площадь } ABCD = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h + \frac{1}{2} \cdot x \cdot h = x \cdot h \]

Теперь вспомним, что точки \( K, L, M \) и \( N \) являются серединами сторон четырёхугольника \( ABCD \). Это означает, что отрезки \( AK, BL, CM \) и \( DN \) равны по длине и каждый из них равен половине соответствующей стороны четырёхугольника \( ABCD \).

Таким образом, периметр четырёхугольника \( KLMN \) равен сумме длин этих отрезков:

\[ 2 \cdot (AK + BL + CM + DN) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot (AB + BC + CD + DA)\right) \]

\[ AK + BL + CM + DN = \frac{1}{2} \cdot (AB + BC + CD + DA) \]

Теперь подставим известные значения:

\[ \frac{1}{2} \cdot (x + x + x + x) = \frac{1}{2} \cdot 4x = 2x \]

Мы знаем, что периметр четырёхугольника \( KLMN \) равен 32 см:

\[ 2x = 32 \]

\[ x = 16 \]

Таким образом, длина диагонали \( BD \) равна 16 см.