Question

Integral((sinx)^4*(COSX)^-4dx​

Answer 1

Ответ:

$\int \sin^{4} (x) \times \cos^{ - 4} (x) dx = \int \sin^{4} (x) \times \frac{1}{ \cos^{4} (x) } dx =$

$\int \frac{ \sin^{4}(x ) }{ \cos^{4} (x) } dx = \int \tan^{4} (x) dx$

По формуле:

$\int \tan^{n} (x) dx = \frac{1}{n - 1} \times \tan^{n - 1} (x) - \int \tan^{n - 2} (x)$

$\frac{1}{4 - 1} \times \tan^{4 - 1} (x) - \int \tan^{4 - 2} (x) = \frac{1}{3} \times \tan^{3} (x) - \int \tan^{2} (x)$

Раскроем tan²x по формул

$\tan^{2} (x) = \frac{1}{ \cos^{2} (x) } - 1$

$\frac{1}{3} \times \tan^{3} (x) - \int \frac{1}{ \cos^{2} (x) } - 1dx =$

$\frac{1}{3} \times \tan^{3} (x) - (\tan(x) - x) = \frac{ \tan ^{3} (x) }{3} - \tan(x) + x$

И конечный ответ:

$\int \sin^{4} (x) \times \cos^{ - 4} (x) dx = \frac{ \tan ^{3} (x) }{3} - \tan(x) + x + c$

Answer 2

Для решения данного интеграла, можно воспользоваться заменой переменной. Пусть t = sin(x), тогда dt = cos(x)dx. Перепишем интеграл с учетом этой замены:

∫(sin(x))^4*(cos(x))^(-4)dx = ∫t^4*(cos(x))^(-4)dx

Заметим, что (cos(x))^(-4) = (1/(cos(x))^4). Подставим это в интеграл:

∫t^4*(cos(x))^(-4)dx = ∫t^4*(1/(cos(x))^4)dx

Теперь заменим dx на dt/cos(x):

∫t^4*(1/(cos(x))^4)dx = ∫t^4*(1/(cos(x))^4)*(dt/cos(x))

Упростим выражение:

∫t^4*(1/(cos(x))^4)*(dt/cos(x)) = ∫t^4/cos(x)^5*dt

Теперь интегрируем по переменной t:

∫t^4/cos(x)^5*dt = ∫t^4/cos(x)^5*dt = ∫t^4*(cos(x))^(-5)dt

Теперь, чтобы получить окончательный ответ, нужно заменить обратно t на sin(x):

∫t^4*(cos(x))^(-5)dt = ∫(sin(x))^4*(cos(x))^(-5)dt

Таким образом, исходный интеграл равен ∫(sin(x))^4*(cos(x))^(-5)dt.