Question

Сколько нулей в конце числа 13! ?

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$13!=1\times2\times3\times4\times5\times6\times7\times8\times9\times10\times11\times12\times13$

Ноль в конце числа в произведении получается либо, если есть 10, либо, если есть 2×5. Множитель 5 имеет каждое 5-ое число (то есть 5 и 10), множитель 2, каждое второе (то есть 2, 4 и т.д.). Значит имеем одну пару 2×5=10 и одну десятку. Тогда в конце числа $13!$ будет 2 нуля.

Задание выполнено!

Answer 2

Чтобы определить количество нулей в конце факториала числа 13!, нам нужно рассмотреть, какие множители входят в это число. Число 13! равно произведению всех натуральных чисел от 1 до 13:

13! = 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

Количество нулей в конце числа определяется количеством множителей 10, которые входят в это произведение. Число 10 можно представить как произведение 2 и 5, и именно комбинация этих двух множителей дает ноль на конце числа. Таким образом, нам нужно посчитать, сколько раз число 2 и число 5 встречаются в произведении.

Очевидно, что число 2 встречается в этом произведении гораздо чаще, чем число 5, поэтому мы будем искать количество пятёрок.

Чтобы найти количество пятёрок, мы можем разложить каждое число от 1 до 13 на простые множители и посмотреть, сколько раз встречается число 5 в разложении.

1 = 1 (нет пятёрок) 2 = 2 (нет пятёрок) 3 = 3 (нет пятёрок) 4 = 2^2 (нет пятёрок) 5 = 5 (1 пятёрка) 6 = 2 × 3 (нет пятёрок) 7 = 7 (нет пятёрок) 8 = 2^3 (нет пятёрок) 9 = 3^2 (нет пятёрок) 10 = 2 × 5 (1 пятёрка) 11 = 11 (нет пятёрок) 12 = 2^2 × 3 (нет пятёрок) 13 = 13 (нет пятёрок)

Как видно из разложений, только числа 5 и 10 содержат множитель 5. Следовательно, в произведении чисел от 1 до 13 есть две пятёрки. Следовательно, 13! имеет два нуля в конце.