Question

Петя задумал некоторое натуральное число. За одну операцию он может домножить его на любое рациональное число от 1/2 до 3. Докажите, что за несколько таких операций Петя сможет получить число 999.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

А чего тут думать?

Задумал 111, умножил два раза на 3 и получил 999.

Задача поставлена именно так, я так и ответил.

А вот доказать, что он может начать с любого числа, и за сколько-то операций получить ровно 999 - намного сложнее.

Answer 2

Докажем данное утверждение методом математической индукции.

Шаг базы:

Начальное число, задуманное Петей, обозначим как x. Пусть x = 1. Тогда Петя может получить число 999 одной операцией, умножив 1 на 999 (результат 999).

Шаг индукции:

Предположим, что для некоторого натурального числа k, Петя может получить число 999 за k операций.

Рассмотрим число y, которое Петя получит после k операций. Тогда у нас есть два случая:

Случай 1: y ≤ 999

В этом случае Петя может продолжить выполнение операций и умножить число y на некоторое рациональное число от 1/2 до 3. Поскольку каждая операция увеличивает число, Петя может получить число 999 за (k + 1) операций.

Случай 2: y > 999

В этом случае Петя может выполнить обратную операцию, разделив число y на рациональное число от 1/2 до 3. Таким образом, он получит новое число z = y / r, где r - рациональное число от 1/2 до 3. Поскольку каждая операция уменьшает число, мы можем утверждать, что z < y. Таким образом, Петя снова окажется в первом случае, где y ≤ 999, и может продолжить операции до достижения числа 999.

Таким образом, мы показали, что если утверждение выполняется для некоторого k, оно также выполняется для (k + 1). Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального числа k.

Таким образом, Петя может получить число 999, выполнив некоторое количество операций.