Question

Відомо, що |a|=|b|=4, а вектори a+2b і a взаємно перпендикулярні 1. Знайти кут між векторами a i b (у градусах) 2. Знайдіть a•b

Answer 1

Ответ:

1. 120°   2) $\vec a\cdot \vec b=-8$

Пошаговое объяснение:

$|\vec a|=|\vec b|=4$

Так как векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

Значит,

$(\vec a+2\vec b)\cdot \vec a =\vec a\cdot\vec a+2\vec b\cdot \vec a=\vec a^{2} +2\vec b\cdot \vec a =|\vec a|^{2} +2\vec b\cdot \vec a =4^{2} +2\vec b\cdot \vec a =16+2\vec b\cdot \vec a$

Тогда

$16+2\vec b\cdot \vec a=0;\\2\vec b\cdot \vec a=-16;\\\vec b\cdot \vec a=-16:2;\\\vec b\cdot \vec a=-8\\\vec a\cdot \vec b=-8$

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

$\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot cos\alpha ,$ где $\alpha -$ угол между векторами $\vec a$ и $\vec b$

Тогда найдем косинус угла между векторами.

$\cos\alpha=\dfrac{\vec a\cdot\vec b }{|\vec a|\cdot|\vec b|} ;\\\\\cos\alpha=\dfrac{-8}{4\cdot4} =- \dfrac{8}{16} =-\dfrac{1}{2}$

Тогда α =120°

Тогда угол между векторами равен 120°

Answer 2

Ответ на вопрос 1:

Для нахождения угла между векторами a и b, мы можем использовать скалярное произведение (скалярное умножение) векторов. Формула для нахождения скалярного произведения двух векторов a и b выглядит следующим образом:

a • b = |a| * |b| * cos(θ)

где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, а θ - угол между векторами a и b.

В данном случае, из условия известно, что |a| = |b| = 4, и векторы a и 2b взаимно перпендикулярны. Это означает, что угол между векторами a и 2b равен 90 градусам.

Теперь мы можем использовать данную информацию, чтобы решить первую часть вопроса и найти угол между векторами a и b.

Решение:

Мы знаем, что a и 2b взаимно перпендикулярны, поэтому угол между ними равен 90 градусам.

Также у нас есть следующее равенство:

a = 2b

Подставим это в формулу скалярного произведения:

a • b = |a| * |b| * cos(θ)

2b • b = 4 * 4 * cos(θ)

2 * |b|^2 = 16 * cos(θ)

2 * 4^2 = 16 * cos(θ)

32 = 16 * cos(θ)

cos(θ) = 32 / 16

cos(θ) = 2

Так как значение cos(θ) больше 1, это означает, что угол θ не существует в действительных числах. Следовательно, мы не можем найти угол между векторами a и b в данном случае.

Ответ на вопрос 2:

Для нахождения скалярного произведения векторов a и b, мы можем использовать следующую формулу:

a • b = |a| * |b| * cos(θ)

где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, а θ - угол между векторами a и b.

Из условия известно, что |a| = |b| = 4. Заменим эти значения в формуле:

a • b = 4 * 4 * cos(θ)

a • b = 16 * cos(θ)

Однако, мы не можем найти точное значение скалярного произведения без знания угла θ. Если бы у нас была информация о значении угла θ, мы могли бы использовать его для вычисления скалярного произведения.