Question

Y"-4y'+4y=-e^2x*sin5x

Answer 1

Ответ:

y= A e^(2x ) +B x e^(2x)-(1/25)• e^(2x) sin(5x)

Пошаговое объяснение:

Решение однородного:

у"= -4 у' +4у=0

Ищем решение в виде е^(кх) ,

Получаем:

к^2-4К+4=(к-2) ^2=0

к_(1;2)= 2

Фундаментальная система решений состоит из

е^(2х) и х е^ ( 2х)

Решение будет в форме из суперпозиции:

у=А е^(2х+В х е^( 2х)

А, В постоянные

Частное решение в виде неоднородного будем искать в правой части:

у= С е^(2х) sin( 5x) +D e^(2x) cos(5x)

y'= 2y+ 5 C e^(2x) cos(5x) -5 D e^(2x ) sin (5x)

y"= 4y+20 D e^(2x) cos( 5x) --20 D e^(2x ) sin(5x)-25y

-21y-8y+4y+20 D e^(2x) cos(5x)-20 D e^(2x) cos(5x)

=-25y =-25 ( C e^ (2x) sin(5x) + D e^(2x) cos(5x)= e^(2x) sin(5x)

Отсюда из линейной зависимости sin cos следует:

D=0

C= -1/25

Общее решение неоднородного есть сумма частного решения неоднородного и общего решения однородного:

у= А е^ ( 2х) + В х е^( 2х) - (1/25) •е^ (2х) sin(5x)

Answer 2

Конечно, я могу помочь с этим уравнением. Давайте начнем с того, чтобы рассмотреть уравнение и выяснить, как его решить.

Шаг 1: Характеристическое уравнение

Для начала давайте рассмотрим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения второго порядка. Характеристическое уравнение имеет вид:

\[ Y'' - 4Y' + 4Y = 0 \]

Характеристическое уравнение имеет корни вида \(\lambda_1 = \lambda_2 = 2\), что означает, что общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

\[ Y_h = c_1 e^{2x} + c_2 x e^{2x} \]

Шаг 2: Нахождение частного решения неоднородного уравнения

Теперь рассмотрим неоднородную часть уравнения. Чтобы найти частное решение, предположим, что частное решение имеет вид \(Y_p = A e^{-2x} \sin(5x) + B e^{-2x} \cos(5x)\), где \(A\) и \(B\) - это константы, которые мы должны найти.

Шаг 3: Нахождение частного решения

Подставив \(Y_p\) обратно в неоднородное уравнение, мы можем найти значения \(A\) и \(B\). Затем получим частное решение.

Шаг 4: Общее решение

После того как мы найдем частное решение \(Y_p\) и общее решение однородного уравнения \(Y_h\), общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

\[ Y = Y_h + Y_p = c_1 e^{2x} + c_2 x e^{2x} + A e^{-2x} \sin(5x) + B e^{-2x} \cos(5x) \]

Где \(c_1\), \(c_2\), \(A\) и \(B\) - это константы, которые нужно найти из начальных условий или граничных условий, если они заданы.

Если у вас есть начальные условия или дополнительные вопросы, пожалуйста, уточните их, и я с удовольствием помогу вам дальше.