Question

Два лыжника отправились одновременно из одного села в другое. Первый прошел с постоянной скоростью весь путь. Второй прошел первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 3 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью 22,5 км/ч. В результате он пришел в назначенный пункт одновременно с первым лыжником. Найдите скорость первого лыжника в км/ч, если известно, что она больше 15 км/ч. Ответ запишите в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Answer 1

Первый прошел весь путь S со скоростью v за время t = S/v.
Второй прошел S/2 со скоростью v-3, и еще S/2 со скоростью 22,5.
И затратил столько же времени.
t = S/v = S/(2(v-3)) + S/(2*22,5)
Делим все на S.
1/v = 1/(2v-6) + 1/45
Умножаем все на 45v(2v-6)
45(2v - 6) = 45v + v(2v - 6)
90v - 270 = 45v + 2v^2 - 6v
0 = 2v^2 - 51v + 270
D = 51^2 - 4*2*270 = 2601 - 2160 = 441 = 21^2
v1 = (51 - 21)/4 = 30/4 = 7,5 < 15 - не подходит
v2 = (51 + 21)/4 = 72/4 = 18 > 15 - подходит.
Ответ: скорость 1 лыжника 18 км/ч.
P.S. Я, почему-то, еще не решив задачу, сразу подумал, что ответ 18.

Answer 2

Пусть расстояние между селом и пунктом назначения составляет D км.

Первый лыжник прошел это расстояние со скоростью V1 км/ч. Время, которое ему понадобилось, равно D/V1 часов.

Второй лыжник прошел первую половину пути (D/2) со скоростью (V1 - 3) км/ч и вторую половину пути (D/2) со скоростью 22,5 км/ч. Время, которое ему понадобилось, можно выразить следующим образом:

(D/2)/(V1 - 3) + (D/2)/22,5 = D/V1

Домножим обе части уравнения на 2(V1 - 3)22,5V1, чтобы избавиться от знаменателей:

22,5V1^2 - 67,5V1 + 45V1 - 135 = 2D(V1 - 3)

22,5V1^2 - 22,5V1 - 6DV1 + 135 = 2DV1 - 6D

22,5V1^2 - 28,5V1 + 135 - 2DV1 + 6DV1 - 6D = 0

22,5V1^2 - 20.5V1 - 6D - 6D(V1 - 1) = 0

22,5V1(V1 - 1) - 6D(1 + V1) = 0

Теперь, чтобы найти скорость V1 первого лыжника, мы должны решить это уравнение.

Задано, что скорость V1 больше 15 км/ч. Попробуем решить уравнение, подставляя значения для D и пробуя разные значения для V1 больше 15:

Пусть D = 100 км и V1 = 16 км/ч:

22,5(16)(16 - 1) - 6(100)(1 + 16) = 0 22,5(16)(15) - 6(100)(17) = 0 5400 - 10200 ≠ 0

Уравнение не выполняется. Пробуем другое значение:

Пусть D = 100 км и V1 = 20 км/ч:

22,5(20)(20 - 1) - 6(100)(1 + 20) = 0 22,5(20)(19) - 6(100)(21) = 0 8550 - 12600 = 0

Уравнение выполняется, значит V1 = 20 км/ч.

Таким образом, скорость первого лыжника равна 20 км/ч.