Question

Знайдіть первісну F(x) для функції f(x)=3x^2+1/х^2-1, якщо F(1)=5.

Answer 1

f(x) = 3x^2 + 1/х^2 - 1 = 3x^2 + x^(-2) - 1

F(x) = x^3 - x^(-1) - x + q (q - некое действительно число)

F(1) = 1 - 1 - 1 + q = -1 + q

-1 + q = 5

q = 6

Ответ: F(x) = x^3 - 1/x - x + 6.

Answer 2

Для знаходження первісної функції F(x) для заданої функції f(x), спочатку треба знайти похідну f'(x) функції f(x), а потім інтегрувати її.

Знаходження похідної f'(x):

Похідна функції f(x) обчислюється за правилами диференціювання. Давайте обчислимо похідну f'(x) за правилом диференціювання суми, різниці, та добутку функцій.

Для обчислення похідної f'(x), розкриємо відповідні доданки та застосуємо правила диференціювання:

f(x) = 3x^2 + 1/x^2 - 1

f'(x) = d/dx (3x^2) + d/dx (1/x^2) - d/dx (1)

Застосуємо правила диференціювання для кожного доданку окремо:

d/dx (3x^2) = 2 * 3x^(2-1) = 6x

d/dx (1/x^2) = -2 * 1/x^(2+1) = -2/x^3

d/dx (1) = 0 (похідна константи є нулем)

Тепер знаходимо f'(x) після обчислення кожного доданку:

f'(x) = 6x - 2/x^3

Знаходження первісної функції F(x):

Тепер, коли ми знаходимо похідну f'(x), ми можемо знайти первісну функцію F(x) шляхом інтегрування похідної.

Інтегрування функції f'(x) відбувається шляхом знаходження антипохідної, тобто функції F(x), яка має похідну f'(x).

Інтегруємо кожен доданок окремо:

∫ (6x) dx = 6 * ∫ x dx = 6 * (x^2/2) = 3x^2

∫ (-2/x^3) dx = -2 * ∫ (1/x^3) dx = -2 * (-1/2x^2) = 1/x^2

∫ (0) dx = C, де C - константа інтегрування.

Отже, первісна функція F(x) для f(x) = 3x^2 + 1/x^2 - 1 буде:

F(x) = 3x^2 + 1/x^2 + C,

де C - константа інтегрування.

Знаходження значення F(1):

За умовою задачі, нам дано, що F(1) = 5. Підставимо це значення в рівняння первісної функції:

F(1) = 3(1)^2 + 1/(1)^2 + C = 3 + 1 + C = 5 + C

Отже, ми отримуємо рівняння:

5 + C = 5

C = 0

Таким чином, підставляючи значення C = 0 в первісну функцію, отримуємо:

F(x) = 3x^2 + 1/x^2 + 0

F(x) = 3x^2 + 1/x^2

Таким чином, первісна функція F(x) для функції f(x) = 3x^2 + 1/x^2 - 1, при F(1) = 5, є F(x) = 3x^2 + 1/x^2.