Question

Докажите, что если a>b>0, то остаток который даёт число а при делении на в меньше а/2.

Answer 1

Поделим $a$ с остатком на $b$. Тогда $a=bq+r$, причем $0\leq r< b$ и поскольку $a>b$, то $q\geq 1$. В таком случае $r = a-bq < a-r \Rightarrow r$

Answer 2

Чтобы доказать это утверждение, давайте рассмотрим случай, когда a > b > 0. Мы хотим доказать, что остаток от деления числа a на b меньше, чем a/2.

Доказательство:

Пусть q и r - результат деления a на b, где q - целая часть, а r - остаток. То есть a = bq + r.

Предположим, что r ≥ b/2. Мы хотим показать, что это невозможно.

Шаг 1: Предположим, что r ≥ b/2

Если r ≥ b/2, то мы можем записать это следующим образом:

r = b/2 + d, где d ≥ 0

Заметим, что d = r - b/2 ≥ 0, поскольку r ≥ b/2.

Шаг 2: Выразим a через q и r

Теперь мы можем выразить a через q и r следующим образом:

a = bq + r = bq + (b/2 + d) = b(q + 1/2) + d

Шаг 3: Посмотрим на a

Мы видим, что a может быть выражено в виде b(q + 1/2) + d. Заметим, что b(q + 1/2) является целым числом, так как q является целым числом. Также заметим, что d ≥ 0.

Поскольку a = b(q + 1/2) + d, мы видим, что a ≥ b(q + 1/2). Но мы знаем, что a > b, поэтому b(q + 1/2) < a.

Шаг 4: Противоречие

Мы пришли к противоречию, потому что мы предположили, что r ≥ b/2, но в итоге получили, что a > b(q + 1/2) ≥ b. Это противоречит нашему исходному предположению, что a > b.

Вывод:

Мы показали, что если a > b > 0, то остаток, который дает число a при делении на b, меньше a/2. То есть, если a > b > 0, то a % b < a/2.