Question

1.верно ли, что сумма всех пятизначных чисел, в десятичной записи которых используются только две ненулевые цифры a и b, всегда делится на 11111? (например, двузначными числами, в десятичной записи которых используются цифры 1 и 2, являются числа: 11,12,21,22

Answer 1

Ответ:

Да

Пошаговое объяснение:

Заметим, что каждому такому числу можно сопоставить другое число, заменив цифру a на b и наоборот (например, числу $\overline{abbab}$ соответствует число $\overline{baaba}$). Рассмотрим сумму двух таких чисел. Для этого распишем их в развёрнутой форме: $\overline{abbab}=10000a+1000b+100b+10a+b$, $\overline{baaba}=10000b+1000a+100a+10b+a$. Их сумма равна $\overline{abbab}+\overline{baaba}=10000(a+b)+1000(a+b)+100(a+b)+10(a+b)+\\+(a+b)=(a+b)(10000+1000+100+10+1)=11111(a+b)$. Она делится на 11111. Любая такая сумма делится на 11111, поскольку если перед некоторым множителем 10ⁿ в одном числе стоит a, то в другом — обязательно b, и в сумме получаем (a + b)·10ⁿ. Поскольку сумма каждой такой пары делится на 11111, то и сумма сумм (без повторений) тоже будет делиться на 11111, но сумма таких сумм — это все числа, удовлетворяющие условию задачи.

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться методом математической индукции.

Пусть a и b - две ненулевые цифры, которые используются в пятизначных числах. Предположим, что сумма всех пятизначных чисел, в десятичной записи которых используются только цифры a и b, делится на 11111.

Рассмотрим первую цифру числа. Она может быть равна a или b. Пусть сумма всех пятизначных чисел, начинающихся с цифры a, делится на 11111. Тогда сумма всех пятизначных чисел, начинающихся с цифры b, также должна делиться на 11111.

Рассмотрим вторую цифру числа. Она может быть равна a или b. Пусть сумма всех пятизначных чисел, вторая цифра которых равна a, делится на 11111. Тогда сумма всех пятизначных чисел, вторая цифра которых равна b, также должна делиться на 11111.

Продолжая этот процесс для всех оставшихся цифр числа, мы приходим к выводу, что сумма всех пятизначных чисел, в десятичной записи которых используются только цифры a и b, должна делиться на 11111.

Таким образом, ответ на задачу: верно, сумма всех пятизначных чисел, в десятичной записи которых используются только две ненулевые цифры a и b, всегда делится на 11111.