Question

доведіть шо при будь якому значенні зміної x вираз x²+8x+17 набуває лише додатніх значень. якого найменьшого значения набуває цей вираз і при якому значенні x​

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

$x^{2} + 8x + 17$ = 0  ==>   D = $b^{2} - 4ac$ = 64 - 68 = -4

Якщо дискримінант від'ємний то квадратний тричлен графіком якого є парабола буде мати або тільки додатні числа, або тільки від'ємні. Хочу ще додати, що в нас a > 0, тому парабола  дивиться вітками вгору, отже найнижча точка це вершина параболи,

Формула для знаходження x вершини параболи: $x_{0} = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2} = -4$, а   y параболи знаходиться підставляючи x в функцію: $y_{0} = f(-4) = 16 -32 + 17 = 33 - 32 = 1$

Так як дискримінант вийшов від'ємним, тобто графік параболи не перетинає вісь x, а вершина параболи має такі кординати: (-4;1) і парабола "дивиться" вгору, тому вираз $> може набувати тільки додатніх значень і в цьому випадку найменше значення функції, тобто найменший y це буде y вершини параболи</p> <p></p> <p>Можна це перевірити підставляючи в функцію різні x</p> <p>x = 0, тоді <img src=$ = 0 + 0 + 17 = 17

x = -1, тоді $x^{2} + 8x + 17$ = 1 - 8 + 17 = 10

x = -2, тоді $x^{2} + 8x + 17$ = 4 - 16 + 17 = 5

x = -3, тоді $x^{2} + 8x + 17$ = 9 - 24 + 17 = 2

x = -4, тоді $x^{2} + 8x + 17$ = 16 - 32 + 17 = 1

x = -5, тоді $x^{2} + 8x + 17$ = 25 - 40 + 17 = 2

Малюнок:

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение x² + 8x + 17 принимает только положительные значения при любом значении переменной x, мы можем использовать метод завершения квадратного трёхчлена или анализ дискриминанта.

Метод завершения квадратного трёхчлена

Выражение x² + 8x + 17 является квадратным трёхчленом. Чтобы завершить квадрат, мы можем добавить и вычесть половину коэффициента при x и возведённую в квадрат:

x² + 8x + 17 = (x² + 8x + 16) + 1 = (x + 4)² + 1

Теперь мы видим, что выражение (x + 4)² является положительным или нулевым для любого значения x. Поскольку мы добавляем к нему 1, то весь квадратный трёхчлен x² + 8x + 17 будет принимать только положительные значения.

Анализ дискриминанта

Другой способ доказать, что выражение x² + 8x + 17 принимает только положительные значения - это анализ дискриминанта. Дискриминант квадратного трёхчлена вида ax² + bx + c вычисляется по формуле D = b² - 4ac.

В нашем случае, a = 1, b = 8 и c = 17. Подставим эти значения в формулу:

D = (8)² - 4(1)(17) = 64 - 68 = -4

Поскольку дискриминант отрицательный, это означает, что квадратный трёхчлен x² + 8x + 17 не имеет корней, а значит, он принимает только положительные значения.

Наименьшее значение выражения и значение x

Теперь давайте найдем наименьшее значение этого квадратного трёхчлена и соответствующее значение x.

Мы видим, что квадратный трёхчлен (x + 4)² + 1 всегда будет принимать значение 1 или больше. Это наименьшее значение, которое он может принять.

Чтобы достичь этого наименьшего значения, значение x должно быть таким, чтобы (x + 4)² равнялось нулю. Это возможно только при x = -4.

Таким образом, выражение x² + 8x + 17 набирает наименьшее значение 1 при x = -4.