Question

На якому проміжку функція y=-x^2+4x-3 набуває додатніх значень?повністю розпишіть пж

Answer 1

Ответ:

y>0 при  x∈(1;3)

Объяснение:

у = -х²+4х-3

По сути это квадратичная функция , графиком которого является парабола .

Найдем нули :

$\displaystyle -x^2+4x-3=0\\\displaystyle x^2-4x+3=0$

По теореме виета:

$\displaystyle \left. \begin{cases} { x_1\cdot x_2=3 } \\ { x_1+x_2=4 } \end{cases} \right.\Rightarrow\left. \begin{cases} { \boldsymbol x_1=3 } \\ { \boldsymbol x_2=1} \end{cases} \right.$

Найдем вершину параболы исходной функции ,по формуле x₀ = -b/2a , в нашем случае b = 4 , a = -1 :

$\displaystyle x_0=\frac{-4}{2\cdot (-1)} =\frac{-4}{-2} =2$

В функции подставив вместо x найденное число -  найдем y₀ :  

$y_0=-2^2+4\cdot2-3=-4+5=1$

Вершина (2;1) находится в первой четверти координатной плоскости , ветви параболы направленны вниз , т.к a(a= -1)<0 , с положительными значениями будет тот промежуток , который расположен над осью Ох ,значит , началом и концом промежутка являются -нули  , но нули не включаются в промежуток .

Итог: y>0 при x∈(1;3)

Answer 2

Щоб знайти проміжок, на якому функція y = -x^2 + 4x - 3 набуває додатніх значень, ми повинні вирішити нерівність:

-y > 0

Оскільки ми маємо від'ємне значення коефіцієнта a = -1 перед x^2, нерівність зміниться на протилежну і матиме вигляд:

y < 0

Тепер давайте розкладемо функцію на множники, щоб знайти корені (точки, де функція дорівнює нулю):

-y = -x^2 + 4x - 3 x^2 - 4x + 3 = 0

Знайдемо корені цього квадратного рівняння:

(x - 1)(x - 3) = 0

Отже, ми маємо два корені: x = 1 і x = 3.

Тепер розглянемо знак функції у трьох проміжках, утворених цими коренями:

1. Інтервал (-∞, 1): Підставимо x = 0 у функцію: y = -(0)^2 + 4(0) - 3 = -3

Отже, функція на цьому проміжку має від'ємні значення.

2. Інтервал (1, 3): Підставимо x = 2 у функцію: y = -(2)^2 + 4(2) - 3 = 1

Отже, функція на цьому проміжку має додатні значення.

3. Інтервал (3, +∞): Підставимо x = 4 у функцію: y = -(4)^2 + 4(4) - 3 = -3

Отже, функція на цьому проміжку має від'ємні значення.

Таким чином, функція y = -x^2 + 4x - 3 набуває додатніх значень на проміжку (1, 3).